Un corrigé du devoir maison n°6
Le but de ce devoir est de démontrer, à l’aide du produit scalaire, que les hauteurs d’un triangle sont concourantes.
Soit ABC un triangle. On note A′,B′etC′les projetés orthogonaux res- pectifs deA,B etC sur (BC), (AC) et (AB). On noteH=(BB′)∩(CC′).
On doit donc montrer que ce pointHest aussi sur la droite (A A′).
1. Que valent les produits scalaires suivants :−−→B H.−→AC etC H−−→.−→AB?
H=(BB′)∩(CC′) donc :
• H∈(BB′) donc (B H)=(BB′) et (B H)⊥(AC) car (BB′) est la hauteur issue deB dans le triangleABC, donc−−→B H.−→AC=0
• H∈(C B′) donc (C H)=(CC′) et (C H)⊥(BC) car (CC′) est la hauteur issue deCdans le triangle ABC, doncC H−−→.−→AB= 0
2. Calculer−−→AH.−→BC.
Remarque. On ne peut pas utiliser le même raisonnement ici car on doit démontrer queH∈(A A′) donc on ne peut supposer que c’est le cas. C’est d’ailleurs toute la difficulté de cette question : ne pas utiliser un résultat qu’on connaît mais le démontrer.
Essayons de montrer que −−→AH.−→BC = 0 sans utiliser le fait que H∈(A A′) mais en utilisant les résultats de la question1. Il nous faut donc introduire d’abord les vecteurs−→AC et−→AB :
−−→AH.−→BC =−−→AH.³−→B A+−→AC´
=−−→AH.−→B A+−−→AH.−→AC
= −−−→AH.−→AB+−−→AH.−→AC
Maintenant, essayons de faire apparaître−−→B H.−→AC etC H−−→.−→AB :
−−→AH.−→BC = −−−→AH.−→AB+−−→AH.−→AC
= −
³−→AC+C H−−→´ .−→AB+
³−→AB+−−→B H´ .−→AC
= −−→AC.−→AB−C H−−→.−→AB+−→AB.−→AC+−−→B H.−→AC
= −−→AC.−→AB−0+−→AB.−→AC+0
Or−→AC.−→AB=−→AC.−→AB donc−−→AH.−→BC = −−→AB.−→AC+−→AB.−→AC=0.
3. Conclure.
−−→AH.−→BC = 0 donc (AH)⊥ (BC) donc (AH) est une droite pas- sant par le sommetAdu triangleABC et perpendiculaire au côté (BC). C’est donc la hauteur. Mais la hauteur est aussi (A A′). Donc (A A′)=(AH)⇔H∈(A A′).
Remarque. On pouvait développer ici d’autres raisonnements, comme par exemple :−−→AH.−→BC =0 donc (AH)⊥(BC) mais on sait que (A A′)⊥(BC) donc (AH)∥(A A′) mais donc (AH) et (A A′) ont le pointAen commun, (AH)=(A A′)⇔H∈(A A′).
H, point appartenant aux hauteurs (BB′) et (CC′), appartient donc forcément aussi à la hauteur (A A′). Les trois hauteurs d’un triangle sont donc concourantes en un même point.
