Corrigé du devoir à la maison n

Corrigé du devoir à la maison n

2

Exercice 1.

1. On a N₁ = 12345⁽⁷⁾ = 1×7⁴+ 2×7³+ 3×7²+ 4×7 + 5 donc N₁ = 3267 .

2. Commençons par remarquer que 7⁵ 6 27252 < 7⁶. Ensuite, on effectue les divisions successives (toutes écrites en base 10) :

27252 = 1 ×7⁵+ 10445 10445 = 4 ×7⁴+ 841

841 = 2 ×7³+ 155 155 = 3 ×7²+ 8

8 = 1 ×7 + 1

On en déduit que N₂ = 142311⁽⁷⁾ .

3. a. On constate que 7 ≡ 7 [12] et 7² ≡ 1 [12]. Notons r le reste dans la division euclidienne de n par 2. Alors, il existe un entier naturelq tel que n= 2q+r. Alors, 7ⁿ = 7^2q+r= (7²)^q×7^r ≡1^q×7^r [12]≡7^r [12].

Ainsi, si n est pair, 7ⁿ≡1 [12] et, si n est impair, 7ⁿ ≡7 [12] . b. D’après la question précédente, pour tout entier j, 7^j ≡t_j [12] donc

N =

k

X

j=0

a_j7^j ≡

k

X

j=0

a_jt_j [12]

i.e. N ≡

k

X

j=0

t_ja_j [12] .

c. On a N₁ ≡5 + 7×4 + 3 + 7×2 + 1 [12]≡51 [12]≡3 [12]6≡0 [12] doncN₁ n’est pas divisible par 12.

De même, N₂ ≡1 + 7×1 + 3 + 2×7 + 4 + 1×7 [12]≡36 [12]≡0 [12] donc N₂ est divisible par 12.

Exercice 2.

1. a. Les diviseur d de 2021 tels que |d|6√

2021 sont −43, −1, 1 et 43 .

b. Par définition, x³−6x² = 2021 donc x²(x−6) = 2021 donc, comme x−6 est une entier, x² est un diviseur de 2021 .

c. Comme x² est un diviseur de 2021, x² 6 2021 donc |x| 6 2021. De plus, comme x divise x² et x² divise 2021, x divise 2021. Ainsi, x est un diviseur de 2021 tel que

|x|62021 donc, grâce à la question a., x∈ {−43 ;−1 ; 1 : 43}.

d. Réciproquement, on vérifie qu’aucune des valeurs possibles obtenues à la question précédente n’est solution de (E) donc l’ensemble des solutions de (E) est ∅.

2. a. Dressons un tableau de restes modulo 9 :

Reste den modulo 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Reste den³ modulo 9 0 1 8 0 1 8 0 1 8

Reste de 6n² modulo 9 0 6 6 0 6 6 0 6 6

Ainsi, les restes possibles pour n³ modulo 9 sont 0, 1 et 8 et les restes possibles pour 6n² modulo 9 sont 0 et 6.

b. Le tableau suivant donne les restes possibles pour x³−6y² modulo 9 :

6y² x³

0 1 8

0 0 1 8

6 3 4 2

Ainsi, les restes possibles pour x²−6y² modulo 9 sont 0, 1, 2, 3, 4 et 8.

c. Supposons que (x;y)∈Z² soit une solution de (F). Alors, x³−6y³ = 2021 = 224×9 + 5≡5 [9]

donc le reste de x³−6y² modulo 9 est 5, ce qui n’est pas possible d’après la question précédente. Ainsi, l’ensemble des solutions de (F) est ∅.

3. On va procéder comme en question2. mais en raisonnant modulo 8.

Reste de n modulo 8 0 1 2 3 4 5 6 7

Reste de n³ modulo 8 0 1 0 3 0 5 0 7

Reste de 6n² modulo 8 0 6 0 6 0 6 0 6

Ainsi, les restes possibles pourn³ modulo 8 sont 0, 1, 3, 5 et 7 et les restes possibles pour 6n² modulo 8 sont 0 et 6.

Le tableau suivant donne les restes possibles pour x³−6y² modulo 8 :

6y² x³

0 1 3 5 7

0 0 1 3 5 7

6 2 3 5 7 1

Ainsi, les restes possibles pourx²−6y² modulo 9 sont 0, 1, 2, 3, 5 et 7. Or, 2020 = 252×8+

4≡4 [8] donc, comme précédemment, on conclut que l’ensemble des solutions de (G) est ∅.