Techniques math´ematiques de base Printemps 2014
Devoir Maison 1 - Corrig´e
Exercice 1. 1. D´eterminons d’abord la forme alg´ebrique dea. On commence par mul- tiplier le d´enominateur et le num´erateur par le conjugu´e du d´enominateur, pour se ramener `a une fraction o`u le d´enominateur est r´eel. Puis on simplifie.
a= 3
√3 +i = 3(√ 3−i) (√
3 +i)(√
3−i) = 3√ 3−3i
√3 +i
2 = 3√ 3−3i
√32+ 12
= 3√ 3−3i 3 + 1
=3√ 3−3i
4 = 3√
3 4 − 3
4i
Passons `a la forme trigonom´etrique de a. Le num´erateur est d´ej`a sous forme tri- gonom´etrique, vu que c’est un r´eel positif. Mettons le d´enominateur sous forme trigonom´etrique.
Notons r=
√3 +i
, on a r2 =
√3 +i
2 =√
32+ 1 = 4. Comme r est positif on a donc r= 2.
Notons maitenant θ l’argument principal de √
3 +i. (L’argument d’un complexe n’est bien d´efini qu’`a 2π pr`es, l’argument principal est l’unique argument apparte- nant `a ]−π, π].) On a alors les relations suivantes : cos(θ) =
√3
2 et sin(θ) = 12. Comme cos(θ) et sin(θ) sont tous les deux positifs, on en d´eduit que θ ∈ [0,π2]. Or
π
6 est l’unique ´el´ement de [0,π2] qui v´erifie les conditions pr´ec´edentes. Donc θ= π6 et
√3 +i= 2eiπ6. Finalement,
a= 3
√3 +i = 3 2eiπ6 = 3
2e−iπ6.
Remarque. Lorsqu’on a un produit ou un quotient `a mettre sous forme trigono- m´etrique, il est souvent plus simple de mettre chacun des termes sous forme trigo- nom´etrique, puis d’effectuer le produit ou le quotient.
2. Commeb est somme de deux complexes de mˆeme module, la m´ethode g´en´erale pour mettrebsous forme trigonom´etrique est de factoriser l’arc moiti´e (icieiπ6), pour faire apparaˆıtre un sinus ou un cosinus.
b =eiπ3 −1 =eiπ6(eiπ6 −e−iπ6) =eiπ6(2isinπ 6
) = 2 sinπ 6
ieiπ6 =ieiπ6 On utilise ensuite le fait que la forme trigonom´etrique de i est eiπ2, et on obtient b=eiπ2eiπ6 =ei(π6+π2) =e2iπ3 .
3. On commence par remarquer que |c|=
(4+3i)(−2e√ i π49) 2+√
2i
= |4+3i||−2ei π49|
|√2+√2i| . On peut donc calculer la norme de chacun des termes dans cette expression puis en d´eduire la norme de c.
|4 + 3i|=√
42+ 32 =√
16 + 9 =√ 25 = 5
√2 +√ 2i
=√
2|1 +i|=√ 2√
1 + 1 =√ 2√
2 = 2 −2ei49π
=|−2|
ei49π = 2 D’o`u,|c|= 5×22 = 5.
Licence PCSI 1 Universit´e Claude Bernard - Lyon 1
Techniques math´ematiques de base Printemps 2014
Remarque. Comme `a la question 1, il est plus facile de calculer la norme de chacun des termes ind´ependamment, et d’effectuer les produits et quotients ensuite.
Exercice 2. On rappelle que les polynˆomes `a coefficients r´eels irr´eductibles sur R sont les polynˆomes de degr´e 1 et les polynˆomes de degr´e 2 sans racine r´eelle. En particulier, un polynˆome `a coefficients r´eels de degr´e impair a au moins une racine r´eelle.
Ici on observe que P(1) = 0. Donc 1 est racine de P et X−1 divise P. ´Ecrivons P sous la forme (X−1)(αX2 +βX +γ) et identifions les coefficients.
P =(X−1)(αX2+βX +γ)
=αX3+ (β−α)X2+ (γ−β)X−γ
=X3+−2X2+ 2X−1
Donc (α, β, γ) est solution du syst`eme :
α=1 β−α=−2 γ−β =2
−γ =−1
⇐⇒
α=1 β =−1 γ =1
. Et on a donc
P = (X−1)(X2−X+ 1).
Remarque. Le syst`eme ci-dessus a une solution bien qu’il y ait plus d’´equations que d’inconnues. C’est le cas parce que les quatre ´equations ne sont pas ind´ependantes.
Par exemple la derni`ere ligne du syst`eme s’obtient en sommant terme `a terme les trois premi`eres.
Le polynˆome X−1 est irr´eductible, sur R comme sur C, car il est de degr´e 1. Le po- lynˆomeX2−X+ 1 n’est pas irr´eductible surC, d’apr`es le th´eor`eme de d’Alembert-Gauss.
Factorisons ce polynˆome sur C. Si on trouve des racines r´eelles, alors cette factorisation sera aussi une factorisation surR, sinon c’est queX2−X+ 1 est d´ej`a irr´eductible surR. Calculons le discriminant : ∆ = (−1)2−4 = −3. Comme ∆<0, on sait que les racines de X2 −X+ 1 sont deux racines non r´eelles conjugu´ees. Donc ce polynˆome n’a pas de racine r´eelle, et est irr´eductible surR. AinsiP = (X−1)(X2−X+ 1) est la factorisation en irr´eductibles deP surR.
Les racines complexes de X2−X+ 1 sont les complexes conjugu´es 1+i
√ 3 2 et 1−i
√ 3 2 . On a
1 +i√ 3
= √
1 + 3 = √
4 = 2. Par ailleurs, en notant θ l’argument principal de 1 +i√
3, on a cos(θ) = 12 et sin(θ) =
√ 3
2 . On en d´eduit que θ ∈[0,π2], car son sinus et son cosinus sont positifs. Finalement, π3 est l’unique ´el´ement de [0,π2] dont le cosinus vaut 12 et le sinus vaut
√3
2 . Donc θ = π3 et 1 +i√
3 = 2eiπ3. Finalement 1+i
√ 3
2 = 2e2i π3 = eiπ3, et 1−i
√ 3
2 = 1+i
√ 3
2 = eiπ3 = e−iπ3. Donc on a la factorisation X2−X+ 1 = (X−eiπ3)(X−e−iπ3), et la factorisation en irr´eductibles de P surC est :
P = (X−1)(X−eiπ3)(X−e−iπ3).
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