Corrigé du devoir à la maison n

Corrigé du devoir à la maison n

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Exercice 1

1. a. La fonction f est de la forme f = ^u_v avec u:x 7→2x+ 3et v :x 7→x+ 4sont deux fonctions dérivables sur [1 ; 2] telles que, pour tout x∈[1 ; 2],u⁰(x) = 2 etv⁰(x) = 1.

On en déduit que f est dérivable sur [1 ; 2] et, pour tout x∈[1 ; 2],

f⁰(x) = 2×(x+ 4)−(2x+ 3)×1

(x+ 4)² = 2x+ 8−2x−3

(x+ 4)² = 5

(x+ 4)² >0 donc la fonction f est strictement croissante sur[1 ; 2] .

b. Considérons, pour tout n ∈N, la proposition P_n : «1< u_n 62».

• Sachant que u₀ = 2, P₀ est vraie.

• Supposons que P_k soit vraie pour un certain k ∈N.

• Alors, 1 < uk 6 2 donc, comme f est strictement croissante sur [1 ; 2], f(1) <

f(u_k) 6 f(2). Or, f(1) = 1, f(u_k) = u_k+1 et f(2) = ⁷₆ 6 2 donc 1 < u_k+1 6 ⁷₆ i.e.

P_k+1 est vraie.

On a donc montré par récurrence que

∀n∈N, 1< u_n62. 2. a. Soit n ∈N. Alors,

u_n+1−u_n = 2u_n+ 3

u_n+ 4 −u_n= 2u_n+ 3−u_n(u_n+ 4) u_n+ 4

= 2un+ 3−u²_n−4un

u_n+ 4 = −un−2un+ 2 u_n+ 4 . Or, (1−u_n)(3 +u_n) = 3 +u_n−3u_n−u²_n =−u²_n−2u_n+ 3 donc

u_n+1−u_n= (1−u_n)(3 +u_n) u_n+ 4 .

b. Soit n ∈N. On a vu dans la question 1.b. que u_n >1 donc 1−u_n <0, 3 +u_n >0 et un+ 4 > 0. On déduit alors de la question précédente que un+1 −un <0 ce qui prouve que (un)est décroissante .

3. On pose, pour tout n∈N, vn = ^u_uⁿ⁺³

n−1.

a. On a vu à la question 1.b. que, pour tout n ∈ N, u_n > 1 donc u_n 6= 1. Ainsi, le nombre v_n est bien défini pour tout n ∈N .

b. Soit n ∈N. Alors,

v_n+1 = u_n+1+ 3 un+1−1 =

2un+3 un+4 + 3

2un+3

un+4 −1 = 2u_n+ 3 + 3(u_n+ 4) 2un+ 3−(un+ 4)

= 2u_n+ 3 + 3u_n+ 12

2u_n+ 3−u_n−4 = 5u_n+ 15

u_n−1 = 5× u_n+ 3 u_n−1 i.e. v_n+1= 5v_n. Ainsi, (v_n)est une suite géométrique de raison 5.

c. On en déduit que, pour tout n ∈ N, v_n = v₀ × 5ⁿ. Or, v₀ = ^u_u⁰⁺³

0−1 = 5 donc, pour tout n∈N, v_n = 5×5ⁿ= 5ⁿ⁺¹ .

Pour finir, on a, pour tout n ∈ N, v_n = ^u_uⁿ⁺³

n−1 donc v_n(u_n − 1) = u_n + 3 donc v_nu_n−v_n=u_n+ 3 donc v_nu_n−u_n =v_n+ 3 donc u_n(v_n−1) = v_n+ 3. Remarquons que, pour tout n∈N,v_n>0donc v_n+ 36= 0 et ainsi v_n−16= 0. Dès lors, pour tout n ∈N, un = ^v_vⁿ⁺³

n−1 i.e.

∀n∈N, u_n = 5ⁿ⁺¹+ 3 5ⁿ⁺¹−1 .

Exercice 2. — Par définition,a₀ ∈N eta₀ 60donc a₀ = 0. De même, a₁ ∈N eta₁ 61 donc a₁ = 0ou a₁ = 1. Or, comme (a_n) est strictement croissante, a₁ > a₀ = 0donc a₁ = 1. Par un raisonnement identique, on obtienta₂ = 2,a₃ = 3... On peut donc conjecturer quea_n =n pour tout n ∈N.

Montrons-le par récurrence.

Considérons, pour tout n ∈N, la propositionP_n : «a_n =n ».

• On a vu que a₀ = 0 donc P₀ est vraie.

• Supposons que P_k soit vraie pour un certain k ∈N.

• Alors, d’une part, a_k+1 6 k+ 1 et, d’autre part, comme (a_n) est strictement croissante, a_k+1 > a_k =k donc, comme a_k+1 ∈N,a_k+1 >k+ 1. On conclut que a_k+1 =k+ 1 i.e. P_k+1 est vraie.

On a donc montré par récurrence que, pour tout n ∈N,a_n=n.

Exercice 3. — Considérons, pour tout entier n > 3, la proposition Pn : « pour tout entier naturel i6n, c_i >3ⁱ⁻² ».

• Étant donné que c0 = 1> ¹₉ = 3⁰⁻²,

c₁ = 1×1 = 1 > ¹₃ = 3¹⁻², c₂ = 1×1 + 1×1 = 2 >13²⁻²,

c3 = 1×2 + 1²+ 2×1 = 5>3 = 3³⁻²,

c₄ = 1×5 + 1×2 + 2×1 + 5×1 = 14>9 = 3⁴⁻² et c₅ = 1×14 + 1×5 + 2² + 5×1 + 14×1 = 42>27 = 3⁵⁻², la proposition P5 est vraie.

• Supposons que P_k soit vraie pour un certain entier k >5.

• Alors, pour tout entier naturel i 6k, c_i > 3ⁱ⁻² et on doit montrer que, pour tout entier naturel i 6 k+ 1, ci > 3ⁱ⁻². Il suffit donc de montrer que ck+1 > 3^k+1−2 i.e. que ck+1 > 3^k−1. Par définition,

c_k+1 =c₀c_k+c₁ck−1+c₂ck−2+· · ·+ck−1c₁+c_kc₀. Cette somme contient k+ 1 termes tous positifs donc, commek+ 1 >6,

c_k+1 >c₀c_k+c₁ck−1+c₂ck−2+ck−2c₂+ck−1c₁+c_kc₀ = 2(c₀c_k+c₁ck−1 +c₂ck−2).

Or, c₀ =c₁ = 1, c₂ = 2 donc, en utilisant l’hypothèse de récurrence avec i∈ {k, k−1, k−2}, il vient

2(c₀c_k+c₁ck−1+c₂ck−2)>2(3^k−2+3^k−3+2×3^k−4) = 2(3²+3+2)3^k−4 = 28×3^k−4 >3³×3^k−4 = 3^k−1 donc c_k+1 >3^k−1 i.e. P_k+1 est vraie.

On a donc montré par récurrence que, pour tout n > 5, Pn est vraie ce qui implique que, pour tout n∈N, c_n >3ⁿ⁻² .