UTBM - MT12 - le 15 Mai 2006
Correction M´edian
Il sera tenu compte dans la correction de la r´edaction correcte des d´emonstrations.
Exercice 1 (Questions de cours) - 6 points
Les questions suivantes ne n´ecessitent pas de calculs. La r´eponse tient en 2 lignes maximum.
i) Soient E et F, 2 espaces vectoriels sur R. A quelle condition sur dimRE et dimRF peut on trouver une application lin´eaire surjective E dans F qui ne soit pas injective ? Justifier.
[Si n = dim(F) < dim(E), on a l’application lin´eaire qui envoie les n premiers vecteurs d’une base de E sur les n vecteurs d’une base de F et les autres sur 0. Le th´eor`eme du rang montre que cette condition est n´ecessaire.]
(1,5 point)
ii) Justifier rapidement que F ={
a b c d
∈R4/a=c, b=d} est unR-espace vectoriel
et donner une base de F.
[On a ´evidemment F = vect{
1 0 1 0
0 1 0 1
} qui est un espace vectoriel.
{
1 0 1 0
0 1 0 1
} est une base de F.] (1,5 point)
iii) Donner un suppl´ementaire G de F du ii) dans R4. Justifier.
[G =vect{
1 0 0 0
0 1 0 0
} est un suppl´ementaire de F car
{
1 0 1 0
,
0 1 0 1
,
1 0 0 0
0 1 0 0
}est une base deR4(clairement g´en´eratrice).]
(1,5 point)
iv) Calculer en fonction de m ∈R,
det
m2+ 1 m2 m2 m2 m2 m2+ 1 m2 m2
1 −1 1 −1
m2 m2 m2 m2
.
[En retranchant aux deux premi`ere lignes la derni`ere, on ne change pas le d´eterminant. Le d´eterminant se calcule alors sans difficult´e, il vaut alors 2m2.]
(1,5 point)
1
Exercice 2 (6 points) (NOUVELLE FEUILLE)
SoitE un R-espace vectoriel de dimension 5. Soit B ={b1, b2, b3, b4, b5} une base deE.
1) Montrer que la familleB0 ={b01 =b1+b2, b02 =b2+b3, b03 =b3+b4, b04 =b4+b5, b05 =b5} est une base de E.
[On a b5 = b05, b4 = b04 −b05, b3 = b03 − b04 +b05, b2 = b02 − b03 +b04 − b05 et b1 = b01−b02+b03−b04+b05.B0 est donc g´en´eratrice de E et contient 5 = dim(E)
´
el´ements. B0 est donc une base de E] (2 points)
2) Soit x∈E avec xB =
x1 x2
x3 x4 x5
(coordonn´ees de x dans B).
Quelles sont les coordonn´ees de x dans la base B0?
[D’apr`es ce qui pr´ec`ede, on obtient : xB0 =
x1 x2−x1
x3 −x2 +x1 x4−x3 +x2−x1 x5 −x4+x3 −x2 +x1
.] (2 points)
3) D´eduire de la question 2) la matrice de passage de B0 `a B (c.`a.d. PB0;B telle que xB0 = PB0;B.xB) ?
[D’apr`es ce qui pr´ec`ede, on obtient :
PB0;B =
1 0 0 0 0
−1 1 0 0 0
1 −1 1 0 0
−1 1 −1 1 0
1 −1 1 −1 1
.]
(2 points)
2
Exercice 3 (4 points) (NOUVELLE FEUILLE) Soit C ={c1 =
1 0 0
, c2 =
1 0 0
, c3 =
0 0 1
} la base canonique de R3
Soit l’application lin´eaire donn´ee dans C par f : R3 −→ R3
x y z
7→
x+y 2y
−2x+ 2y+ 3z
On cherche `a d´eterminer une base B = {b1, b2, b3} dans laquelle la matrice de l’appli-
cation f sera
1 0 0 0 2 0 0 0 3
.
1) Que doivent v´erifier b1, b2 et b3 pour que la matrice de f dans {b1, b2, b3} soit celle que l’on cherche ?
[f(b1) = b1, f(b2) = 2b2, f(b3) = 3b3.] (2 points)
2) En d´eduire des vecteurs b1, b2, et b3 qui satisfont `a notre recherche.
[On r´esout les syst`eme est on obtient b1 =
1 0 1
,b2 =
1 1 0
,b3 =
0 0 1
.]
(2 points)
3
Exercice 4 (6 points) (NOUVELLE FEUILLE) Soit A=
µ 1
2 −16 0 13
¶
1. D´eterminer P ∈ M2(R), inversible, telle que A.P =P.D o`u D= µ1
2 0
0 13
¶
[On r´esout en posant P =
µ a b c d
¶
et on trouve par ex. P =
µ 1 1 0 1
¶ .]
(1.5 points)
2. Exprimer A en fonction de P et D, puis A2. G´en´eraliser `a An.
[A= P DP 1, A2 = P D2P 1. Par r´ecurrence, on trouve An =P DnP 1.]
(1.5 points)
3. Soient (Un)n∈N et (Vn)n∈N deux suites telles que
∀n ∈N∗,
½ Un= 12Un−1 −16Vn−1
Vn= 13Vn−1 avec U0, V0 ∈R fix´es.
Exprimer µ U1
V1
¶
en fonction de A et µ U0
V0
¶ , puis
µ U2
V2
¶
. G´en´eraliser `a µ Un
Vn
¶
en fonction de A, n et µ U0
V0
¶
[ µ U1
V1
¶
= A.
µ U0 V0
¶ ,
µ U2 V2
¶
= A2. µ U0
V0
¶
. Par r´ecurrence,
µ Un Vn
¶
= An.
µ U0 V0
¶
.] (1.5 points)
4. D´eduire des questions pr´ec´edentes les limites des deux suites.
[En rempla¸cant An par P DnP 1 et en faisant le calcul, on obtient :
½ Un = (12)nU0+ (−(12)n+ (13)n)V0
Vn = (13)nV0
Les deux suites convergent donc vers 0.] (1.5 points)
4
