D1889. Deux angles ´ egaux
R point courant sur BC. RA recoupe le cercle circonscrit Γ en Q. On con- struit le pointP surBC par : RP2=RA.RQ.
Les droitesP X etQX sont telles queCP X\ =XQA. Elles sont donc en ho-\ mographie etXd´ecrit l’hyperboleH1passant parP etQ. SoitY le sym´etrique deP par rapport `aX, etTetZles points deQXtels queT X =XZ =P X. Y d´ecrit l’hyperbole H2 homoth´etique deH1, etT et Zdes droites parall`eles aux asymptotes deH2 qui est donc ´equilat`ere de centreQ.
Ei est l’ellipse circonscrite `a ABCet de centreI, centre du cercle inscrit. Les asymptotes de H2 recoupent Ei enU et V. SiABC est ´equilat´eral, Ei est confondue avec Γ, de centre I, et U V est un diam`etre de Γ : c’est donc la tangente `a H2 enI.
Cette propri´et´e reste vraie dans le cas g´en´eral par d´eformation continue. Lorsque Y est en I, X est au milieu M de P I, ce qui prouve la tr`es curieuse ´egalit´e des angles\BP I etM QA. Il fallait bien Jean-Louis Aym´\ e pour la d´ecouvrir !
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