D1904-Deux angles droits
Louis ROGLIANO
1er angle droit
Soit un triangle ABC dont O est le centre du cercle circonscrit. Le cercle tangent en A à AB et passant par C rencontre en un deuxième point P le cercle tangent en A à AC et passant par B. Démontrer que OP est perpendiculaire à AP.
2ème angle droit
Quatre points A,B,C et D pris dans cet ordre sont situés sur la circonférence d’un cercle de centre O. Les droites AB et CD se rencontrent en un point M .Les cercles circonscrits aux triangles ACM et BDM se rencontrent en M et en un deuxième point P. Démontrer que OP est perpendiculaire à MP.
Nota: les deux problèmes sont indépendants.
Premier angle droit(Voir figure 1)
La construction entraîne les égalités d’angles suivantes:
BAP[ =ACP[ P AC[ =ABP[ AP B[ =AP C[ \BP C = 2BAC[ = 2Ab La droite(P A)est bissectrice de\BP C.
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BP OCest donc inscriptible et l’arc intercepté parOP C[ mesure 2π−4A
2 =π−2A; alorsb OP C[ = π 2−Ab Il en résulte queOP Q[ =OP C[ +CP Q[ = π
2 −Ab+Ab= π 2. (OP)et(P A)sont donc perpendiculaires.
Second angle droit(Voir figure 2)
Considérons l’inversion de centreM laissant globalement invariant le cercle de centreO. Elle transforme le cercleACM en la droite(BD)et le cercle DBM en la droite(AC). Ces deux droites se coupent enQet M P ×M Q=M A×M B =M C ×M D =M T ×M S.
La polaire deM par rapport au cercle de centreOpasse parQet est perpendiculaire au diamètreT Sen R. La divisionST RM est harmonique et nous avons alorsM O×M R =M T×M S. Le quadrilatèreP QRO est donc inscriptible et(OP)est perpendiculaire à(M P).
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