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Deux angles supplémentaire

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Academic year: 2022

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Deux angles supplémentaire

s

Problème D1909 de Diophante

A l’intérieur d’un triangle isocèle ABC de sommet principal C et de base AB, on choisit un point P tel que l’angle PAB est égal à l’angle PBC. M étant le milieu de AB, prouver que les angles APM et BPC sont supplémentaires.

Solution

Soit P un point tel que l’angle PAB est égal à l’angle PBC, alors l’angle APB est supplémentaire de l’angle CAB, du fait que le triangle ABC est isocèle.

Ainsi P appartient au cercle ß tangent en A et B aux côtés CA et CB. La médiatrice de AB passe par C et coupe ß en I (intérieur à ABC) et J.

Montrons que la droite PI est bissectrice commune des angles de droites (PB,AP) et (PB,PC).

B C

P

M I

J ß

A

D’une part, les angles IPB et IPA interceptent des arcs symétriques sur ß D’autre part, AB est la polaire de C par rapport à ß ; la division (C, M, I, J) est harmonique. Donc, dans le faisceau (PC, PM, PI, PJ) les droites orthogonales PI et PJ sont les bissectrices des deux autres.

Ainsi, par symétrie par rapport à PI, les angles BPC et MPI sont égaux. Donc les angles APM et BPC sont supplémentaires.

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