D1904 : Deux angles droits

D1904 : Deux angles droits

1) Si D et E sont les centres des cercles, l’axe radical AP est perpendiculaire à DE. Par ailleurs ADOE est un parallélogramme donc OD=AE=EP, OE=AD=DP, le trapèze DOPE est isocèle, donc OP est parallèle à DE et perpendiculaire à AP.

1^er angle droit

Soit un triangle ABC dont O est le centre du cercle circonscrit. Le cercle tangent en A à AB et passant par C rencontre en un deuxième point P le cercle tangent en A à AC et passant par B. Démontrer que OP est perpendiculaire à AP.

2^ème angle droit

Quatre points A,B,C et D pris dans cet ordre sont situés sur la circonférence d’un cercle de centre O. Les droites AB et CD se rencontrent en un point M .Les cercles circonscrits aux triangles ACM et BDM se rencontrent en M et un en deuxième point P. Démontrer que OP est perpendiculaire à MP.

Nota : les deux problèmes sont indépendants.

2) Montrons que P appartient également aux cercles circonscrits à OAD et OBC : si Q est l’intersection de ces deux cercles, AQC=AQO+OQC=ADO+π-OBC

=π+(π-AOD)/2-(π-BOC)/2=π-ACD+BAC

=ACM+MAC=π-AMC ; et de même

BQD=π-BMD, donc Q est confondu avec P.

Donc OPA=ODA=(π-AOD)/2=π/2-ACD,

APM=ACM=π-ACD, donc OPM=π/2.