1. Courbe et fibr´ es vectoriels

LAURENT FARGUES

R´esum´e. On pr´esente un r´esum´e de nos travaux sur la courbe que nous avons introduite avec Jean-Marc Fontaine et ses applications en th´eorie de Hodge p-adique ainsi qu’au programme de Langlands.

Introduction

La courbe fondamentale en th´ eorie de Hodge p-adique a ´ et´ e introduite par Jean- Marc Fontaine et l’auteur dans [37]. On pr´ esente d’abord celle-ci, l’´ etude des fibr´ es vectoriels et de leurs modifications dans la section 1. Dans la section 2 on explique nos r´ esultats sur l’´ etude des G-fibr´ es et leurs applications aux espaces de p´ eriodes p-adiques. Enfin, on conclut dans la section 3 par des r´ esultats r´ ecents sur les familles de fibr´ es et le lien conjectural avec la correspondance de Langlands locale.

Ce texte est en quelque sorte un r´ ecit du parcours qui nous a men´ e des filtrations de Harder-Narasimhan des sch´ emas en groupes finis et plats ([25]) ` a la conjecture de g´ eom´ etrisation de la correspondance de Langlands locale (sec. 3).

1. Courbe et fibr´ es vectoriels

1.1. Fonctions holomorphes de la variable p. Soient E un corps local de corps r´ esiduel le corps fini F

et π une uniformisante de E. On a donc soit [E : Q

] < +∞, soit E = F

((π)). Soit F | F

un corps perfecto¨ıde. On note $ ∈ F une pseudo- uniformisante i.e. 0 < |$| < 1. Consid´ erons l’anneau de Fontaine ([39],[41])

A =

® W

(O

) si E| Q

O

J π K si E = F

((π)).

La th´ eorie de la courbe sch´ ematique ne n´ ecessite pas la th´ eorie des espaces per- fecto¨ıdes qu’elle pr´ edate ou des espaces adiques. N´ eanmoins il est plus naturel main- tenant de l’exposer en introduisant ces objets. Consid´ erons donc l’espace adique

Y = Spa(A, A) V (π[$]).

Si E = F

((π)) il s’agit d’un disque ouvert ´ epoint´ e de la variable π, D

= {0 <

|π| < 1} ⊂ A

qui est exactement celui qui apparaˆıt dans les travaux d’Hartl-Pink ([52]). N´ eanmoins on ne le consid` ere pas ici comme un espace adique sur F mais

Date: 24 septembre 2017.

2010Mathematics Subject Classification. 11S31,11S37,11G18,14K10.

L’auteur a b´en´efici´e du support des projets ANR-14-CE25 ”PerCoLaTor” et ERC Advanced Grant 742608 ”GeoLocLang”.

1

sur E,

Y = D

Spa(F) D

= Spa( F

((π))).

loc. de type fini pas loc. de type fini

Il est pr´ eperfecto¨ıde, si E| Q

et E

est le compl´ et´ e de l’extension engendr´ ee par les points de torsion d’un groupe de Lubin-Tate, l’espace Y ⊗ ˆ

E

est perfecto¨ıde de bascul´ e le mˆ eme espace associ´ e ` a E

i.e. D

∞

F

un disque perfecto¨ıde ´ epoint´ e ([30] sec. 2.2).

L’alg` ebre de Fr´ echet O(Y ) est obtenue par compl´ etion des fonctions holomorphes sur Y , m´ eromorphes le long des diviseurs (π) et ([$]),

A[

,

],

relativement aux normes de Gauss |.|

pour des rayons ρ ∈]0, 1[

X

n−∞

[x

]π

= sup

n

|x

|ρ

. Un ´ el´ ement ξ = P

n

[x

]π

∈ A est dit primitif de degr´ e d > 0 si x

6= 0, x

, . . . , x

∈ m

et x

∈ O

. Le produit d’un ´ el´ ement primitif de degr´ e d par un de degr´ e d

est primitif de degr´ e d + d

et on a donc une bonne notion d’´ el´ ement primitif irr´ eductible. Deux tels ´ el´ ements sont ´ equivalents s’ils sont multiples par une unit´ e dans A

. Le r´ esultat suivant est un un r´ esultat clef pour toute la suite (on renvoie ´ egalement aux articles de revue [34], [35] et [36]).

Th´ eor` eme 1.1 ([37] th´ eo. 2.4, coro. 2.2.23, th´ eo. 3.1.11).

(1) Si F est alg´ ebriquement clos alors tout ´ el´ ement primitif dans A irr´ eductible est de degr´ e 1, ´ equivalent ` a π − [a] avec 0 < |a| < 1. En d’autres termes, tout ξ primitif a une factorisation (de Weierstrass)

ξ = u(π − [a

]) . . . (π − [a

]), u ∈ A

, 0 < |a

| < 1.

(2) Pour ξ primitif irr´ eductible dans A, A[

]/(ξ) = O(Y )/(ξ) est un corps per- fecto¨ıde de bascul´ e une extension de degr´ e deg(ξ) de F via x 7→ [x] mod ξ.

Cela induit une ´ equivalence

{´ el´ ements primitifs irr´ eductibles de degr´ e 1}/ ∼ −−→

d´ ebasculements de F sur E.

Par d´ efinition les points classiques de Y , |Y |

, sont les z´ eros des ´ el´ ements pri- mitifs de A. Les normes de Gauss |.|

sont multiplicatives et on dispose donc d’une bonne notion de polygone de Newton pour les fonctions holomorphes f sur Y ainsi que sur ses couronnes, ceci par application d’une transform´ ee de Legendre inverse appliqu´ ee ` a la fonction concave ]0, +∞[3 r 7→ − log |f |

. Par

bonne notion de polygone de Newton

on entend typiquement le fait que le polygone d’un produit est le concat´ en´ e des polygones ([37] sec. 1, [36] sec. 1). Par exemple, le polygone de Newton de P

n0

[x

]π

∈ A[

,

] est l’enveloppe convexe d´ ecroissante des points (n, v(x

))

. Si ξ = P

n

[x

]π

est primitif de degr´ e d on d´ efinit sa valuation (la

distance ` a l’origine π = 0 dans le disque ´ epoint´ e Y

) comme ´ etant

v(x

).

Th´ eor` eme 1.2 ([37] th´ eo. 3.4.4).

(1) Pour f ∈ O(Y ) non nul les pentes de son polygone de Newton sont les valuations des z´ eros de f dans |Y |

, f (y) = 0 avec y ∈ |Y |

, compt´ ees avec multiplicit´ e ord

(f ) deg(y) o` u la valuation ord

est celle de l’anneau de p´ eriodes de Fontaine O “

= B

(k(y)) associ´ e au corps perfecto¨ıde k(y).

(2) L’alg` ebre de Banach des fonctions holomorphes sur une couronne com- pacte {ρ

≤ |π| ≤ ρ

} de Y est un anneau principal de spectre maximal les ´ el´ ements de |Y |

dans cette couronne (` a une unit´ e pr` es tout ´ el´ ement irr´ eductible est primitif irr´ eductible dans A).

Concr` etement, si F est alg´ ebriquement clos et si λ est une pente du polygone de f alors f = (π − [a])g avec v(a) = λ et la multiplicit´ e de λ dans le polygone de g est une de moins. L’analyse p-adique d’une fonction d’une variable d´ evelopp´ ee dans [66] s’´ etend ` a ce cadre. On peut typiquement former des produits de Weierstrass et v´ erifier ainsi que tout f ∈ O(Y ) se met sous la forme

Y

n≥0

1 −

× g

avec x

→ 0, g sans z´ eros au voisinage de π = 0 et donc m´ eromorphe en π = 0, de la forme P

n0

[x

]π

avec x

∈ F et pour tout ρ ∈]0, 1[, lim

n→+∞

|x

|ρ

= 0 ([37]

sec. 1.2). Cela permet de rendre concret les ´ el´ ements de O(Y ) puisqu’en g´ en´ eral, sauf si bien sˆ ur si E = F

((π)), un tel ´ el´ ement n’admet pas de d´ eveloppement unique en s´ erie de Laurent de la forme P

n∈Z

[x

]π

.

1.2. La courbe sch´ ematique. L’espace Y est muni d’un Frobenius ϕ induit par le Frobenius x 7→ x

de F. Les th´ eor` emes de factorisation pr´ ec´ edents permettent d’analyser les p´ eriodes p-adiques. Typiquement un ´ el´ ement de O(Y )

a un po- lygone de Newton satisfaisant une ´ equation fonctionnelle qui se r´ esout facilement.

On peut alors lui appliquer les r´ esultats de factorisation pr´ ec´ edent. Utilisant ces r´ esultats on obtient le th´ eor` eme clef suivant.

Th´ eor` eme 1.3 ([37] th´ eo. 6.2.1). Si le corps F est alg´ ebriquement clos l’alg` ebre de p´ eriodes P = L

d≥0

O(Y )

est gradu´ ee factorielle i.e. le mono¨ıde ab´ elien

`

P

{0}/E

est libre de base P

{0}/E

.

Concr` etement, si f ∈ P

{0}, f = f

. . . f

avec f

∈ P

et une telle ´ ecriture est unique ` a des scalaires dans E

pr` es. Ce th´ eor` eme (qui se formule et se d´ emontre sans espaces adiques) s’est r´ ecemment retrouv´ e de nouveau au coeur de r´ esultats plus complexes ` a priori, cf. prop. 3.2. Il est au coeur mˆ eme de la courbe.

De la mˆ eme fa¸ con, en utilisant ces r´ esultats d’analyse concernant les fonctions de O(Y ) et leurs z´ eros, on donne une d´ emonstration rapide de la suite exacte fondamentale de la th´ eorie de Hodge p-adique dans ([37] th´ eo. 6.4.1). En combinant ces divers r´ esultats on obtient la construction de la courbe sch´ ematique.

Th´ eor` eme 1.4 ([37] th´ eo. 6.5.2, 7.3.3). Le sch´ ema X = Proj(P ) est noeth´ erien r´ egulier de dimension 1, i.e. de Dedekind. De plus

(1) Il y a un morphisme d’espaces annel´ es Y → X qui induit une bijection

|Y |

/ϕ

→ |X| (points ferm´ es de X ) tel que si y 7→ x alors k(y) = k(x) et

B

(k(y)) = O “

= O “

.

(2) La courbe est

compl` ete

au sens o` u pour x ∈ |X | on pose deg(x) :=

[k(x)

: F], alors pour tout f ∈ E(X )

, deg(divf) = 0.

(3) Si F est alg´ ebriquement clos alors tout point est de degr´ e 1, P

{0}/E

− →

|X | via t 7→ V

(t). De plus O

(D

(t)) = O(Y )[

]

= B

(C

)

est un anneau principal o` u C

est le corps r´ esiduel en V

(t), C

= F.

1.3. La courbe adique. Comme on l’a dit pr´ ec´ edemment l’espace Y est adique pr´ eperfecto¨ıde. On d´ efinit alors la courbe adique comme ´ etant

X

= Y /ϕ

.

C’est un espace adique quasicompact partiellement propre (mais pas de type fini) sur Spa(E). Il y a un morphisme d’espaces annel´ es X

→ X qui identifie les points classiques de X

et les points ferm´ es de X ainsi que les compl´ et´ es des anneaux locaux correspondants. Bien que non localement de type fini on sait que Y et X

sont localement noeth´ eriens ([30] conjecture 1 d´ emontr´ ee par Kedlaya dans [56]).

L’un des int´ erˆ ets de ce r´ esultat est que du coup Y et X

rentrent dans le cadre de la th´ eorie

classique

d´ evelopp´ ee par Huber ([53]). Ainsi, par exemple, si Z est un E-espace rigide de Tate, i.e. un E-espace adique localement de type fini, on peut former l’espace adique X

× Z et regarder les faisceaux coh´ erents dessus lorsque Z varie (cf. [59] pour une exemple d’une version non perfecto¨ıde de cela).

1.4. Fibr´ es vectoriels. Bien que l’alg` ebre gradu´ ee de p´ eriodes P utilis´ ee pour d´ efinir X d´ epende du choix de π, X n’en d´ epend canoniquement pas. Ceci dit, le choix de π d´ efinit un fibr´ e

tr` es ample

O(1) = P fi [1] sur X tel que

P = M

d≥0

H

(X, O(d)).

On suppose maintenant que F contient une clˆ oture alg´ ebrique F

de F

. On note E

l’extension non ramifi´ ee de degr´ e n de E et ˘ E = ‘ E

muni de son Frobenius σ.

On a une identification (l’indice E signifie la courbe associ´ ee au choix de E) X

⊗

E

= X

et le revˆ etement cyclique X

→ X

s’identifie ` a Y /ϕ

−→ Y /ϕ

. Ainsi,

trivialisation du revˆ etement Y → Y /ϕ

X

monde perfecto¨ıde.

ext. des scalaires non ramifi´ees

ext. des scalaires ramifi´ees

Pour tout λ =

∈ Q , (d, h) = 1, on d´ efinit O

(λ) comme ´ etant le pouss´ e en avant

par le revˆ etement ´ etale fini X

→ X

de O

(d). Un des points fondamentaux de

la th´ eorie est maintenant le suivant : puisque la courbe est compl` ete (th´ eo. 1.4) on

peut d´ efinir naturellement le degr´ e d’un fibr´ e en droites et on dispose en particulier

du formalisme des filtrations de Harder-Narasimhan ([37] sec. 5.5). Ainsi le fibr´ e

O(λ) est stable de pente λ.

Th´ eor` eme 1.5 ([37] th´ eo. 8.2.10). Supposons F alg´ ebriquement clos.

(1) Pour tout λ ∈ Q , un fibr´ e sur X est semi-stable de pente λ si et seulement si il est isomorphe ` a une somme directe de O(λ).

(2) La filtration de Harder-Narasimhan d’un fibr´ e sur X est scind´ ee.

(3) L’application (λ

)

7→ ⊕

O(λ

) induit une bijection entre suites d´ ecroissantes de nombres rationnels et classes d’isomorphisme de fibr´ es sur X.

Ce r´ esultat ressemble fortement ` a une g´ en´ eralisation du th´ eor` eme de Grothen- dieck concernant la droite projective. N´ eanmoins sa preuve est beaucoup plus com- plexe car contrairement ` a P

, H

(X, O(−1)) 6= 0 : si V

(t) = ∞ avec t ∈ P

{0}

alors l’anneau principal O(Y )[1/t]

muni du stathme −ord

n’est pas eucli- dien ! La d´ emonstration de ce r´ esultat utilise des r´ esultats fins de th´ eorie de Hodge p-adique concernant les p´ eriodes de groupes p-divisibles et leurs liens avec les mo- difications de fibr´ es (cf. sec. 1.7.2).

Lorsque le corps F n’est plus alg´ ebriquement clos des ph´ enom` enes monodro- miques apparaissent. On v´ erifie typiquement que pour t ∈ P

{0}

Cl(O(Y )[1/t]

) = Pic

(X) = Hom(Gal(F |F ), E

).

On a plus g´ en´ eralement le r´ esultat suivant.

Th´ eor` eme 1.6 ([37] th´ eo. 9.3.1, du type Narasimhan Seshadri [71]). Via le fonc- teur E 7→ H

(X

F

b , E

b

), la cat´ egorie des fibr´ es semi-stables de pente 0 sur X

est

´

equivalente ` a celle des repr´ esentations p-adiques de Gal(F |F ) ` a coefficients dans E.

Enfin, venons en au th´ eor` eme GAGA.

Th´ eor` eme 1.7 (GAGA, [30] th´ eo. 3.5, [58] th´ eo. 8.5.5). L’image r´ eciproque par le morphisme d’espaces annel´ es X

→ X induit une ´ equivalence entre faisceaux coh´ erents sur X et X

.

La premi` ere d´ emonstration de ce r´ esultat ([30]) consistait ` a comparer le th´ eor` eme de classification 1.4 avec celui de Kedlaya ([55]) lorsque E| Q

ou bien le th´ eor` eme d’Hartl Pink en ´ egales caract´ eristiques ([52]). Plus pr´ ecis´ ement, les fibr´ es vectoriels sur X

s’identifient aux fibr´ es ϕ-´ equivariants sur Y , qui eux-mˆ eme s’identifient aux germes de fibr´ es vectoriels ϕ-´ equivariants au voisinage de π = 0 sur Y (si U est un tel voisinage alors Y = ∪

ϕ

(U )). L’anneau des germes de fonctions holomorphes au voisinage de π = 0 s’identifie ` a l’anneau de Robba associ´ e ` a F , et donc les fibr´ es vectoriels sur X

s’identifient aux ϕ-modules sur cet anneau de Robba.

Kedlaya et Liu ([58]) ont donn´ e une autre d´ emonstration reposant sur leur preuve du fait que O(1) est ample sur X

: pour tout fibr´ e E sur X

, pour d 0, E (d) est engendr´ e par ses sections globales (bien sˆ ur ce r´ esultat est tautologique sur la courbe sch´ ematique, c’est une des raisons pour laquelle elle est plus simple ` a manipuler, ce r´ esultat est int´ egr´ e dans sa construction). Il s’agit de construire suf- fisamment de sections de E (d), d 0, par un processus it´ eratif convergeant ([58]

sec. 6.2), les m´ ethodes usuelles de s´ eries de Poincar´ e ([10]) sur Y ne semblant pas

fonctionner (de plus, si F est alg´ ebriquement clos, on ne sait pas ` a l’avance que le

tir´ e en arri` ere ` a Y d’un fibr´ e sur X

est trivial, i.e. qu’un tel fibr´ e est donn´ e par

un facteur d’automorphie, alors que c’est une cons´ equence du th´ eor` eme de classifi- cation).

Une fa¸con plus intrins` eque d’exposer le th´ eor` eme de classification des fibr´ es est d’utiliser les isocristaux tels qu’ils apparaissent dans le th´ eor` eme de Dieudonn´ e- Manin ; ϕ−Mod

qui est la cat´ egorie des couples (D, ϕ) o` u D est un ˘ E–espace vectoriel de dimension finie et ϕ un automorphisme σ-lin´ eaire. L’espace Y vit au dessus de Spa( ˘ E). D` es lors on peut construire pour un tel isocristal

E (D, ϕ) = Y ×

D −→ Y /ϕ

= X

qui est un fibr´ e trivialis´ e de fibre D sur Y ayant pour facteur d’automorphie ϕ agissant sur D. Via GAGA cela correspond au fibr´ e associ´ e au P-module gradu´ e

⊕

(D ⊗ O(Y ))

. D` es lors le th´ eor` eme 1.5 s’´ enonce en disant que E (−) : ϕ−Mod

−→ Fibr´ es sur X

est essentiellement surjectif.

1.5. Simple connexit´ e g´ eom´ etrique de la courbe. Du th´ eor` eme de classifica- tion des fibr´ es on peut d´ eduire le r´ esultat suivant.

Th´ eor` eme 1.8 ([37] th´ eo. 8.6.1). Si F est alg´ ebriquement clos le sch´ ema X

est simplement connexe : tout revˆ etement ´ etale fini est scind´ e.

En d’autres termes π

(X) = Gal(E|E). Plus g´ en´ eralement, pour F quelconque, π

(X ) = Gal(F |F )×Gal(E|E) ([37] th´ eo. 9.5.1). On dispose du mˆ eme r´ esultat, soit par la mˆ eme m´ ethode soit par GAGA, sur la courbe adique : les revˆ etements ´ etales finis de Spa(E) correspondent ` a ceux de X

. Ce r´ esultat a d’importantes applica- tions. Il se r´ einterpr` ete de fa¸ con formelle en disant que si F est alg´ ebriquement clos alors le diamant au sens de Scholze ([79],[81]) (cf. [33] par exemple pour ce diamant en particulier et la section 3.3)

Div

= Spa(F) × Spa(E)

/ϕ

a pour π

le groupe de Galois Gal(E|E) (X

et Div

ont mˆ eme cat´ egorie de revˆ etements ´ etales). On a

Spa(F) × Spa(E)

= D

∞

F

/O

un disque perfecto¨ıde ´ epoint´ e divis´ e par l’action de Lubin-Tate de O

([30] sec.2 et [81]). D` es lors, si F = C

on trouve comme corollaire du th´ eor` eme 1.8 que le groupe de Galois Gal(E|E) classifie les revˆ etements ´ etales finis O

-´ equivariants de D

/ϕ

(Weinstein [87]). Ce r´ esultat a motiv´ e l’article [63] de Kucharczyk et Scholze qui est la recherche d’un r´ esultat analogue sur les corps de nombres.

Le th´ eor` eme 1.8 est ´ egalement ` a la base de la preuve du lemme de Drinfeld- Scholze ([81]) qui affirme que

π

(Div

)

= π

(Div

)

(cf. [33] sec. 4 pour une signification pr´ ecise de cet ´ enonc´ e en termes de Div

).

1.6. Fibr´ es et espaces de Banach-Colmez. La d´ ecouverte de la courbe re-

monte ` a l’´ etude par Fontaine et l’auteur des r´ esultats de Colmez sur les espaces de

Banach de dimension finie ([12], [14]). C’est en d´ efinissant des filtrations de Harder-

Narasimhan sur ceux-ci et en tentant de les classifier que nous sommes tomb´ es sur

la courbe. Maintenant, le lien entre fibr´ es vectoriels sur la courbe et espaces de

Banach-Colmez est compl` etement clarifi´ e par le th´ eor` eme suivant.

Th´ eor` eme 1.9 ([67]). Supposons que F = C

avec C alg´ ebriquement clos.

(1) La cat´ egorie des espaces de Banach-Colmez est la plus petite sous-cat´ egorie ab´ elienne de la cat´ egorie des faisceaux pro-´ etales de E-espaces vectoriels sur Spa(C) contenant G

, E et stable par extensions.

(2) Le foncteur cohomologie relative induit une ´ equivalence entre le coeur dans D

(O

) de la t-structure

• dont la partie ≤ 0 est form´ ee des complexes E

satisfaisant H

( E

) = 0 si i > 0 et H

( E

) est ` a pentes de HN ≥ 0,

• la partie ≥ 0 des complexes satisfaisant H

( E

) = 0 si i < −1 et H

( E

) est ` a pentes de HN < 0,

et la cat´ egorie des espaces de Banach-Colmez.

(3) L’´ equivalence pr´ ec´ edente s’´ etend en une ´ equivalence d´ eriv´ ee.

Ici par cohomologie relative on entend la chose suivante. On peut d´ efinir un morphisme de (gros) topos pro-´ etales

τ : (X

) e

pro-´et

−→ Spa(C

) e

pro-´et

= Spa(C) e

pro-´et

grˆ ace ` a la fonctorialit´ e de la courbe adique : S 7→ X

(cf. sec. 3.1) o` u S est un espace perfecto¨ıde sur Spa( F

). D` es lors, si E

est un complexe de faisceaux coh´ erents sur X

on peut d´ efinir Rτ

E

.

Certains de ces faisceaux de cohomologie relative, ceux associ´ es aux fibr´ es vecto- riels ` a pentes dans [0, 1], sont repr´ esentables par des C-espaces perfecto¨ıdes du type lim

×p

G

o` u G est un groupe formel p-divisible sur O

(cf. sec. 4 de [37], c’est ce que Scholze et Weinstein ont appel´ e plus tard le revˆ etement universel d’un groupe p-divisible ([82]). N´ eanmoins en g´ en´ eral ils ne sont repr´ esentables que par des dia- mants (et ces espaces de Banach-Colmez ont probablement ´ et´ e une forte source d’inspiration pour l’introduction par Scholze de la th´ eorie des diamants).

Via le th´ eor` eme de classification des fibr´ es 1.5 cela fournit une classification des espaces de Banach-Colmez. Remarquons que la t-structure intervenant dans ce dernier th´ eor` eme est analogue ` a celle utilis´ ee par Bridgeland ([8]) qui a ´ et´ e une inspiration pour ce r´ esultat.

Dans ce cadre l` a, Fontaine a r´ ecemment fait le lien entre le coeur de la t-structure analogue sur les fibr´ es Galois ´ equivariants et sa th´ eorie des presque C

-repr´ esenta- tions ([43]). Cela permet de boucler la boucle puisque cette th´ eorie a ´ et´ e une forte inspiration pour la th´ eorie des espaces de Banach-Colmez ([43] sec. 4.1 par exemple).

Enfin, les r´ esultats de Berger ([3]) clarifient compl` etement le lien entre fibr´ es Galois ´ equivariants et la th´ eorie

classique

des (ϕ, Γ)-modules : si K est de valuation discr` ete ` a corps r´ esiduel parfait, C = K “ et F = C

alors la cat´ egorie des fibr´ es Gal(K|K)-´ equivariants sur la courbe est ´ equivalente ` a celle des (ϕ, Γ)- modules.

1.7. Modifications de fibr´ es et th´ eorie de Hodge p-adique.

1.7.1. Faiblement admissible implique admissible. La premi` ere application que nous

avons donn´ ee de la courbe avec Fontaine dans [37], sec. 10, est une nouvelle preuve

du th´ eor` eme

faiblement admissible ´ equivalent ` a admissible

de Colmez-Fontaine

([15], [4]). C’´ etait la seconde fois, apr` es la preuve du th´ eor` eme de classification des

fibr´ es, que sont apparues naturellement les modifications de fibr´ es qui sont devenues

essentielles dans la suite (dans l’expos´ e [24], p.53, on dit appliquer une correspon- dance de Hecke lorsqu’on modifie un fibr´ e).

Plus pr´ ecis´ ement, prenons E = Q

et soit K| Q ˘

une extension de degr´ e fini. On note C = K “ et Γ = Gal(K|K). La courbe associ´ ee ` a C

est munie d’une action de Γ et d’un point ferm´ e ∞ de corps r´ esiduel C invariant sous l’action de Γ. Cette action

arithm´ etique

de Γ rigidifie compl` etement la situation. On a en effet les propri´ et´ es suivantes :

(1) ∞ est le seul point ferm´ e dont la Γ-orbite soit finie et donc la cat´ egorie des fibr´ es Γ-´ equivariants sur X {∞} est ab´ elienne ([37] 10.1.1, 10.1.3) (2) si (D, ϕ) ∈ ϕ−Mod

alors les sous-fibr´ es Γ-invariants de E (D, ϕ)

sont en bijection avec les sous-isocristaux de (D, ϕ) ([37] th´ eo. 10.2.14).

Soit donc (D, ϕ) ∈ ϕ−Mod

un isocristal. On s’int´ eresse aux modifications Γ-´ equivariantes de E (D, ϕ) en ∞. Ce fibr´ e est trivialis´ e en ∞ et E ÿ (D, ϕ)

= D ⊗ B

= D

⊗

B

. On dispose maintenant de l’´ enonc´ e suivant : pour W un K-espace vectoriel de dimension finie il y a une bijection

Filtrations de W −−→

r´ eseaux Γ-invariants dans W ⊗ B

Fil

W 7−→ Fil

(W ⊗ B

).

Du point de vue

de la grassmanienne affine

([81] o` u Scholze montre que l’on peut mettre une structure de ind-diamant sur ces objets), si µ est un cocaract` ere diagonal dominant ` a valeurs dans GL

et

Gr

= GL

(B

)µ(t)GL

(B

)/GL

(B

)

est une cellule de Schubert affine (comme ensemble), il y a une application de Bialynicki-Birula ([9] prop. 3.4.3 pour la version en familles pour n’importe quel groupe)

Gr

−→ GL

(C)/P

(C).

Le r´ esultat pr´ ec´ edent dit que cela induit une bijection Gr

−−→

GL

(K)/P

(K).

Il s’agit l` a d’un r´ esultat analogue au r´ esultat

classique

sur C qui dit que pour l’action de G

sur la cellule affine Gr

, avec ici Gr( C ) = GL

C ((t))

/GL

CJ t K , induite par λ.t = λt avec λ ∈ G

, alors

Gr

−−→

G/P

.

Du point de vue des espaces de lacets cette action alg´ ebrique de G

correspond ` a l’action de U (1) de rotation des lacets. Il y a donc une forte analogie entre U (1) et Γ. Par exemple, pour σ ∈ Γ, σ(t) = χ

(σ)t o` u ici t est le 2iπ p-adique de Fontaine.

Il r´ esulte de cela que les modifications Γ-´ equivariantes de E (D, ϕ) sont en bijec-

tion avec les filtrations de D

. Partant donc d’un ϕ-module filtr´ e (D, ϕ, Fil

D

)

au sens de Fontaine ([42]) on en d´ eduit par modification un fibr´ e Γ-´ equivariant

E (D, ϕ, Fil

D

). Sa filtration de Harder-Narasimhan est Γ-invariante et provient

donc d’une filtration de (D, ϕ). Partant de l` a

le th´ eor` eme faiblement admis-

sible

implique admissible est une cons´ equence facile du th´ eor` eme de classification

des fibr´ es qui implique que dim

H

(X, F ) = rg( F ) ssi F est semi-stable de

pente 0.

On donne ´ egalement dans [37], sec. 10.6, une preuve du th´ eor` eme de la mono- dromie p-adique (de Rham implique potentiellement semi-stable ([13])) en utilisant la courbe.

1.7.2. Modifications de fibr´ es et groupes p-divisibles. La preuve du th´ eor` eme de clas- sification des fibr´ es utilise de fa¸ con fondamentale deux r´ esultats sur les modifications de fibr´ es qui se d´ eduisent de r´ esultats sur les p´ eriodes de groupes p-divisibles. C’est au cours de cette preuve que l’auteur a commenc´ e ` a s’int´ eresser aux liens entre groupes p-divisibles et modifications de fibr´ es. Plus pr´ ecis´ ement, supposons que E = Q

et F = C

avec C| Q

alg´ ebriquement clos. Si BT

d´ esigne les groupes de Barsotti-Tate sur O

il y a un foncteur

M : BT

⊗ Q −→

ß modifications minuscules de fibr´ es en ∞ F , → E avec F semi-stable de pente 0 i.e. trivial

™ . Ce foncteur admet les deux descriptions suivantes, si G 7→ [ F , → E ],

• [P´ eriodes de de Rham] On a F = V

(G) ⊗ O

et E = E (D, p

ϕ) o` u (D, ϕ) est le module de Dieudonn´ e covariant de G

. Le morphisme F , → E est alors donn´ e par une application lin´ eaire

V

(G) → H

( E (D, p

ϕ)) = (D ⊗ O(Y ))

qui est une application de p´ eriodes cristallines de Fontaine. Le faisceau coker( F → E ) est alors le faisceau gratte-ciel Lie(G)

p

en ∞.

• [P´ eriodes de Hodge-Tate] Il y a un morphisme de Hodge-Tate α

: V

(G

) → ω

p

([40], [23], [26]) qui induit une surjection V

(G

) ⊗ O

i

ω

p

et donc une modification. La modification duale de cette modifi- cation est [ F , → E ].

Ces deux types de p´ eriodes ont ´ et´ e unifi´ ees plus tard via l’introduction des ϕ- modules sur A

(cf. sec. 1.7.3). Le th´ eor` eme de classification des fibr´ es utilise les deux r´ esultats suivants :

(1) (Lafaille/Gross-Hopkins) Tout ´ el´ ement de P

(C) est la p´ eriode de de Rham d’un groupe formel de hauteur n et de dimension 1

(2) (Drinfeld) Tout ´ el´ ement de P

(C) S

H∈ˇPⁿ⁻¹(Qp)

H(C) est la p´ eriode de de Rham d’un O

-module formel sp´ ecial et donc (principe des tours jumelles, cf. sec. 2.3) la p´ eriode de Hodge-Tate d’un groupe formel de hauteur n et de dimension 1.

Via le foncteur M le point (1) implique que toute modification de degr´ e 1 de O(

) est isomorphe ` a O

. Le point (2) implique que tout modification de degr´ e −1 de O

est isomorphe ` a O

⊕ O(

), 1 ≤ r ≤ n (cf. sec. 8.3 de [37]).

R´ eciproquement, le th´ eor` eme de classification fournit de nouveaux r´ esultats concer- nant les espaces de p´ eriodes p-adiques (cf. sec. 2.3). Ainsi, la courbe est une machine qui recycle les deux r´ esultats pr´ ec´ edents pour en produire de nouveaux.

La cat´ egorie de modifications pr´ ec´ edente dans le but de M s’identifie (du point

de vue des p´ eriodes de Hodge-Tate) ` a celle des couples (V, W ) o` u : V est un Q

-

espace vectoriel de dimension finie et W ⊂ V

est un sous-espace. On introduit

dans [27] la notion de groupes rigides analytiques de type p-divisible. Il s’agit de groupes rigides analytiques ab´ eliens G sur C tels que

• ×p : G → G est surjectif de noyau fini

• ×p : G → G est topologiquement nilpotent i.e.

G est topologiquement de p

-torsion

.

On a alors le th´ eor` eme suivant.

Th´ eor` eme 1.10 ([27]). (1) Le foncteur G 7→ G

de la cat´ egorie des groupes formels p-divisibles sur O

vers les groupes rigides analytiques de type p- divisible est pleinement fid` ele, d’image essentielle les groupes G tels que G ' ˚ B

comme espaces rigide pour un entier d.

(2) La cat´ egorie des groupes rigides analytiques p-divisibles s’identifie ` a celle des triplets (Λ, W, u) o` u Λ est un Z

-module libre de rang fini, W un C- espace vectoriel de dimension finie et u : W → Λ

est C-lin´ eaire.

Dans le point (2), au triplet (Λ, W, u) on associe le groupe rigide analytique (log ⊗Id)

(W ⊗ G

) dans la suite exacte

0 −→ Λ

/Λ

(1) −→ “ G

⊗

Λ −−−−−−→

G

⊗ Λ

−→ 0.

Les groupes G associ´ es aux triplets (Λ, W, u) avec u injectif correspondent aux groupes G

hyperboliques

i.e. tels que tout morphisme rigide analytique A

→ G soit constant. Les groupes rigides analytiques de type p-divisible hyperboliques ` a isog´ enie pr` es sont donc ´ equivalents aux modifications minuscules dans le but du foncteur M. Ce mˆ eme foncteur M est donc de plus pleinement fid` ele d’apr` es le point (1) du th´ eor` eme pr´ ec´ edent. Scholze et Weinstein on compl´ et´ e ce r´ esultat en montrant qu’il est en fait essentiellement surjectif.

Th´ eor` eme 1.11 ([82]). Le foncteur M est une ´ equivalence de cat´ egories.

Leur preuve consiste ` a montrer que si C est sph´ eriquement complet avec comme groupe de valuations R , alors pour tout groupe rigide analytique de type p-divisible G

hyperbolique

on a G ' ˚

B

. Ils montrent ensuite que l’on peut descendre du cas C sph´ eriquement complet au cas C quelconque en utilisant le fait que les orbites de Hecke, comme fibres des applications de p´ eriodes de de Rham de Rapoport-Zink, sont des espaces rigides de dimension 0.

1.7.3. ϕ-modules sur A

et modifications de fibr´ es. Il s’est alors pos´ e la question de savoir comment faire le lien par un objet interm´ ediaire entre p´ eriodes de Hodge- Tate et de de Rham. Le point de d´ epart est la remarque suivante qui r´ esulte du th´ eor` eme de factorisation 1.3 : les modifications de O , → O(d) sont toutes obtenues par un proc´ ed´ e it´ eratif qui est le suivant. Partant de ξ primitif de degr´ e d tel que ξ = P

n≥0

[x

]π

avec x

∈ 1 + m

on peut former le produit de Weierstrass Y

n≥0

ϕ

(ξ)

π

· Y

n<0

ϕ

(ξ) ∈ O(Y )

le produit entre guillemets n’´ etant pas convergeant mais pouvant ˆ etre d´ efini comme

solution de l’´ equation fonctionelle ϕ(x) = ξx dans A (cf. [37] sec. 6.3). Cela a

conduit ([30]) ` a la

version perfecto¨ıde

suivante des ϕ-modules de Breuil-Kisin

([60]). Soit ξ primitif de degr´ e 1 qui engendre le noyau de θ : A → O

. Par

d´ efinition un ϕ-module sur A est un couple (M, ϕ) o` u M est un A-module libre et

ϕ : M → M est semi-lin´ eaire de conoyau annul´ e par une puissance de ξ. On a alors le r´ esultat suivant.

Th´ eor` eme 1.12 ([30], [81]). Il y a une anti-´ equivalence entre ϕ−Mod

et la cat´ egorie des modifications de fibr´ es en ∞, F , → G avec F trivial muni d’un r´ eseau dans H

(X, F ).

Partant d’un ϕ-module (M, ϕ) on construit un

Shtuka

(M, ϕ) = (M ⊗ O

, ϕ ⊗ ϕ) sur Y dont le z´ ero est localis´ e en V (ξ), coker(M − → M) est support´

e en V (ξ). On forme alors ([30] sec. 4.4)

M

= lim

←−n≥0

ϕ

M et M

= lim

−→ n≤0

ϕ

M,

(op´ eration qui est l’analogue du produit de Weierstrass pr´ ec´ edent pour GL

).

Puisque ϕ

dilate sur le disque ´ epoint´ e Y

les deux limites pr´ ec´ edentes sont essentiellement constantes sur tout ouvert quasicompact de Y , et M

et M

sont donc des fibr´ es ϕ-´ equivariants i.e. des fibr´ es sur X

. La modification associ´ ee ` a (M, ϕ) est alors la duale de M

, → M

.

Dans l’autre sens une telle modification fournit par un proc´ ed´ e inverse un tel Shtuka (M, ϕ) sur Y . On utilise alors la compactification par deux diviseurs ([81])

Y = Spa(A, A) V (π, [$]) = Y ∪ V (π) ∪ V ([$]).

En utilisant le th´ eor` eme 11.1.7 de [37] on v´ erifie que M s’´ etend automatiquement grˆ ace ` a la structure de Frobenius le long du diviseur ([$]). En utilisant la condi- tion de trivialit´ e de F coupl´ ee au choix du r´ eseau dans H

(X, F ) on v´ erifie que M s’´ etend en π = 0. Le fibr´ e M s’´ etend donc canoniquement ` a Y . On peut alors appli- quer le r´ esultat GAGA de Kedlaya ([57]) qui dit que les fibr´ es sur Spec(A) V (π, [$]) et Spa(A, A) V (π, [$]) s’identifient et que ceux-ci sont triviaux pour conclure (A se comporte en quelque sorte comme un anneau local r´ egulier de dimension 2).

Partant de (M, ϕ) ∈ ϕ−Mod

, si (N , ϕ) = (M, ϕ) ⊗ O

:

• si V (π) = {y

} (diviseur ´ etale) : (N

, ϕ) fournit le fibr´ e trivial F

ainsi que le r´ eseau dans H

(X, F

),

• si V ([$]) = {y

} (diviseur cristallin) : (N

, ϕ) fournit le fibr´ e G

qui est associ´ e ` a l’isocristal (N

⊗ k(y

), ϕ),

• si V (ξ) = {y

} (diviseur de de Rham) : l’inclusion de B

-r´ eseaux ϕ : N “

, → N “

fournit la filtration de Hodge i.e. la modification G

, → F

. C’est en ce sens l` a que l’on a unifi´ e les diff´ erentes p´ eriodes. On renvoie ` a [81] pour plus de d´ etails.

Comme corollaire du th´ eor` eme pr´ ec´ edent on d´ eduit comme dans [60] que la cat´ egorie des groupes p-divisibles sur O

s’identifie ` a celle des ϕ-modules sur A, (M, ϕ), tels que coker ϕ soit annul´ e par ξ ([30] sec 4.8). Ce r´ esultat a ´ et´ e repris par Lau sur des bases affino¨ıdes perfecto¨ıdes plus g´ en´ erales dans [65] par les m´ ethodes de Displays/Windows de Zink. Remarquons enfin que sur O

l’hypoth` ese p 6= 2 de [30] et [65] n’est en fait pas n´ ecessaire puisque tout groupe p-divisible G sur O

est somme directe d’un groupe ´ etale et d’un groupe connexe.

Si X est un sch´ ema propre et lisse sur O

de valuation discr` ete ` a corps r´ esiduel

parfait avec C = K, les diff´ “ erents th´ eor` emes de comparaison cristallins/semi-stables

([44], [86], [73] par exemple) fournissent automatiquement de telles modifications de fibr´ es avec F = H

(X

, Q

) ⊗ O

et G = E (D, ϕ), (D, ϕ) ´ etant la cohomologie cristalline de la fibre sp´ eciale X

. On peut donc d´ efinir grˆ ace ` a 1.12 une th´ eorie cohomologique sur de tels X ` a valeurs dans les ϕ-modules sur A.

A la suite de cela Bhatt, Morrow et Scholze ([5], [6]) ont d´ ` efini de mani` ere g´ eom´ etrique une telle th´ eorie cohomologique sur les sch´ emas formels propres et lisses sur O

, ` a valeurs dans des complexes de ϕ-modules sur A et ont donn´ e des applications ` a l’´ etude de la torsion dans la cohomologie ´ etale de ces vari´ et´ es. Le point est qu’ils ne construisent pas seulement des ϕ-modules sur A mais plutˆ ot un complexe de cohomologie, ce qui raffine la construction pr´ ec´ edente et donne des informations sur la torsion. En effet, l’´ equivalence du th´ eor` eme 1.12 n’est pas une

´

equivalence exacte et ne passe pas aux complexes de cohomologie.

Notons ´ egalement que Niziol a interpr´ et´ e la cohomologie syntomique g´ eom´ etrique en termes de fibr´ es sur la courbe dans [72]. Plus pr´ ecis´ ement, la cohomologie de Deligne s’interpr` ete parfois comme groupes d’extensions de structures de Hodge mixtes, les r´ egulateurs archim´ ediens envoyant une extension de motifs mixtes sur l’extension correspondante de structures de Hodge. Niziol donne une interpr´ etation similaire dans [72] pour la cohomologie syntomique en termes d’extensions de mo- difications de fibr´ es vectoriels.

Enfin concluons par la conjecture suivante, apparue au cours de nombreuses discussions avec Le Bras et Scholze, ´ egalement inspir´ ee par les travaux de Colmez et Niziol ([16] sec. 5.2 o` u les espaces de Banach-Colmez apparaissent naturellement) qui devrait g´ en´ eraliser la cohomologie de Hyodo-Kato des sch´ emas propres et lisses

`

a r´ eduction semi-stable.

Conjecture 1.13. Soit C| Q

complet et alg´ ebriquement clos. On peut d´ efinir une th´ eorie cohomologique sur les C-espaces rigides lisses quasicompacts s´ epar´ es, ` a va- leurs dans les fibr´ es vectoriels sur la courbe associ´ ee ` a C

qui g´ en´ eralise la coho- mologie de Hyodo-Kato des sch´ emas propres et lisses ` a r´ eduction semi-stable. Cette th´ eorie cohomologique devrait se factoriser par la cat´ egorie des motifs rigides de Ayoub ([2]).

On esp` ere mˆ eme la construction d’un complexe de cohomologie dans D

(O

).

Par semi-simplification de la filtration de Harder-Narasimhan cela fournirait une th´ eorie cohomologique ` a valeurs dans les isocristaux. Cependant la conjecture pr´ ec´ e- dente est plus subtile puisqu’on pr´ edit l’existence d’un rel` evement au niveau des fibr´ es. Bien sˆ ur si C = K “ cela devrait d´ efinir une th´ eorie cohomologique sur de tels K-espaces rigides ` a valeurs dans les fibr´ es Galois ´ equivariants.

2. G´ eom´ etrisation de l’ensemble de Kottwitz et applications 2.1. G´ eom´ etrisation. Dans cette section X est la courbe associ´ ee ` a un corps F alg´ ebriquement clos et E comme pr´ ec´ edemment. Soit G un groupe r´ eductif sur E.

On consid` ere l’ensemble de Kottwitz B(G) = G( ˘ E)/σ-conj. des classes d’isomor- phismes de G-isocristaux. Ici par σ-conjugaison on entend b ∼ gbg

. Si b ∈ G( ˘ E) on peut lui associer un G-fibr´ e sur X par composition

Rep(G) −→ ϕ−Mod

−−−−→ fibr´ es sur X (V, ρ) 7−→ (V

, ρ(b)σ

.

On le note E

et on le voit ´ egalement comme un G-torseur ´ etale. Tir´ e en arri` ere sur la courbe adique il s’agit du G

-torseur localement trivial pour la topologie adique

Y ×

G

o` u ϕ agit sur G

via bσ. Le th´ eor` eme principal de [31] est alors le suivant (cf. [1] pour le cas E = F

((π))). Il s’agit d’une g´ en´ eralisation du th´ eor` eme de classification 1.5.

Th´ eor` eme 2.1 ([31], [1]). Il y a une bijection d’ensembles point´ es B(G) −−→

H

(X, G)

[b] 7−→ [ E

].

Ce r´ esultat est utilis´ e dans [9] afin de construire des applications de p´ eriodes de Hodge-Tate pour des vari´ et´ es de Shimura de type Hodge et stratifier par un ensemble de Kottwitz la vari´ et´ e de drapeaux au but de ces applications de p´ eriodes.

Cette bijection satisfait des propri´ et´ es tr` es agr´ eables :

• Il y a un dictionnaire entre th´ eorie de la r´ eduction de Harder-Narasimhan/

Atiyah-Bott et la description par Kottwitz de B(G). Par exemple :

— b est basique ssi E

est semi-stable

— le polygone de Harder-Narasimhan {ν

} vu comme classe de conjugaison g´ eom´ etrique de cocaract` ere D → G

est ´ egal ` a {ν

} l’inverse du polygone de Newton.

• L’application κ : B(G) → π

(G)

de Kottwitz s’interpr` ete comme l’oppos´ e d’une premi` ere classe de Chern d’un G-fibr´ e.

• On dispose d’un analogue du th´ eor` eme de Drinfeld-Simpson : lorsque G est quasi-d´ eploy´ e, pour tout point ferm´ e ∞ ∈ |X|, E

est trivial. Les fibr´ es sur X s’obtiennent ainsi par recollement

` a la Beauville-Laszlo

et donc si {∞} = V

(t), de corps r´ esiduel C, le groupo¨ıde des G-fibr´ es sur X s’identifie au groupo¨ıde quotient

G O(Y )[

]

\G(B

(C))/G(B

(C)) .

2.2. Interpr´ etation g´ eom´ etrique de certains r´ esultats de Tate. On suppose dans cette section que E| Q

. Durant la d´ emonstration du th´ eor` eme 2.1 est apparu un lien int´ eressant entre th´ eorie du corps de classe et fibr´ es sur la courbe. Par exemple, si B est une alg` ebre ` a division sur E, d’apr` es la th´ eorie du corps de classe (calcul du groupe de Brauer), il existe un isocristal isocline (D, ϕ) tel que B ' End(D, ϕ). On a alors

B ⊗

O

−−→ End(

E (D, ϕ)).

Il en r´ esulte que le morphisme Br(E) → Br(X ) est nul. Partant de ce r´ esultat on d´ emontre dans [31] que le groupe de Brauer Br(X ) est nul. On conjecture mˆ eme en fait que le corps des fonctions de X est (C1) ([31]).

On peut aller plus loin dans les liens entre corps de classe et cohomologie de la courbe. On note Γ = Gal(E|E). D’apr` es le th´ eor` eme 1.8 les syst` emes locaux ´ etales finis sur X correspondent par tir´ e en arri` ere via X → Spec(E) aux Γ-modules discrets finis. On a alors le r´ esultat suivant.

Th´ eor` eme 2.2 ([31]). Soit M un Γ-module discret fini et F le faisceau ´ etale

localement constant associ´ e sur X par tir´ e en arri` ere via X → Spec(E). On a

alors :

(1) H

(E, M ) −−→

H

(X, F ).

(2) Via cet isomorphisme pour M = Z /n Z (1), la classe fondamentale de la th´ eorie du corps de classe correspond ` a la classe fondamentale de la courbe η

= c

(O(1)) ∈ H

(X, Z /n Z (1)), c’est ` a dire la classe de cycle d’un point ferm´ e sur la courbe.

On peut ainsi r´ einterpr´ eter (mais pas red´ emontrer compl` etement jusqu’` a main- tenant i.e. par des m´ ethodes purement g´ eom´ etriques) g´ eom´ etriquement les deux th´ eor` emes suivants de Tate :

(1) La dualit´ e de Tate-Nakayama s’interpr` ete comme la dualit´ e de Poincar´ e sur la courbe.

(2) La formule de Tate pour la caract´ eristique d’Euler-Poincar´ e de la coho- mologie galoisienne s’interpr` ete comme une formule de Grothendieck-Ogg- Shafarevich.

On esp` ere pouvoir ´ etudier les syst` emes locaux sur des ouverts de la courbe ainsi que leur cohomologie (cf. [31] sec. 3.3 pour des conjectures pr´ ecises et ´ egalement [28] sec. 7 pour une description conjecturale du groupe fondamental d’un ouvert).

2.3. Application aux espaces de p´ eriodes p-adiques. Rapoport a donn´ e une premi` ere application du th´ eor` eme 2.1 aux espaces de p´ eriodes de [78] dans [75] en montrant que le lieu admissible co¨ıncide avec toute la vari´ et´ e de drapeaux unique- ment dans le cas Lubin-Tate et son dual de Cartier. Il faut faire attention ici que, bien que le th´ eor` eme de Colmez-Fontaine dise que

admissible est ´ equivalent ` a faiblement admissible

, du point de vue g´ eom´ etrique des espaces de p´ eriodes cela dit uniquement que les lieux admissible et faiblement admissible ont mˆ emes points

`

a valeurs dans des corps p-adiques de valuation discr` ete, mais ils ne sont pas ´ egaux en g´ en´ eral.

Rappelons le contexte de ce type de probl` eme ([78],[17]). On fixe une classe de conjugaison g´ eom´ etrique de cocaract` ere minuscule {µ} ` a valeurs dans G et on re- garde la vari´ et´ e de drapeaux associ´ ee F(G, µ) comme espace adique sur le compl´ et´ e de l’extension maximale non ramifi´ ee du corps de d´ efinition de {µ}. On fixe un iso- cristal avec G-structure [b] ∈ B(G, µ), l’ensemble de Kottwitz ([62]) qui param` etre les strates de Newton dans les vari´ et´ es de Shimura dont la donn´ ee induit (G, µ) localement en p (la non vacuit´ e des strates de Newton associ´ ees ` a un ´ el´ ement de B(G, µ), conjectur´ ee dans [22], est connue dans de tr` es nombreux cas maintenant).

On regarde le lieu faiblement admissible F(G, µ, b)

, un ouvert partiellement propre obtenu en enlevant un nombre fini de J

(E)-orbites de vari´ et´ es de Schubert o` u la condition de faible admissibilit´ e de Fontaine n’est pas satisfaite. Rapoport et Zink avaient conjectur´ e dans [78] l’existence d’un ouvert

F(G, µ, b)

⊂ F(G, µ, b)

ayant mˆ eme points classiques de Tate (` a valeurs dans un corps de valuation discr` ete) que F(G, µ)

, ainsi que l’existence d’un E-syst` eme local ´ etale avec G-structure des- sus qui interpolerait les repr´ esentations cristallines ` a valeurs dans G(E) en les points classiques. Ces derni` eres repr´ esentations sont fournies par Fontaine via le th´ eor` eme

faiblement admissible ´ equivalent ` a admissible

en ces points. L’existence de cet

ouvert est maintenant connue grˆ ace ` a la courbe, les travaux de Kedlaya-Liu ([58],

cf. le point (1) du th´ eo. 3.1) et de Scholze ([79]), cf. sec. 3 de [11] pour un rapide

survol. Grˆ ace ` a cela on peut construire les vari´ et´ es de Shimura locales associ´ ees ([77]) comme espace de r´ eseaux dans ce syst` eme local ([18]).

Dans [51] Hartl classifie les µ minuscules associ´ es ` a G = GL

tels que F

= F

. Inspir´ es entre autre par ce r´ esultat, Rapoport et l’auteur ont conjectur´ e le r´ esultat suivant qui est maintenant d´ emontr´ e.

Th´ eor` eme 2.3 ([11]). Pour [b] ∈ B(G, µ) basique sont ´ equivalents (1) F(G, µ, b)

= F(G, µ, b)

.

(2) L’ensemble B(G, µ) est pleinement HN d´ ecomposable.

Par d´ efinition l’ensemble B(G, µ) est pleinement HN d´ ecomposable si pour tout [b

] ∈ B(G, µ) non basique son polygone de Newton, comme ´ el´ ement d’une chambre de Weyl positive,

touche le polygone de Hodge d´ efini par µ en dehors de ses extr´ emit´ es

. Les espaces/vari´ et´ es de Shimura associ´ es aux ensembles B(G, µ) plei- nement HN d´ ecomposables jouissent de propri´ et´ es tout ` a fait remarquables ([47]).

Le premier exemple de tel ensemble qui a intrigu´ e l’auteur remonte ` a

l’astuce de Boyer

aka la d´ ecomposition de Hodge-Newton ([7] pour l’astuce originelle, [50]

pour sa variante vari´ et´ es de Shimura, [69], [70], [84] pour des g´ en´ eralisations au cas des vari´ et´ es de Shimura, [47] pour le cas de la fibre sp´ eciale, [49] and [45] pour des versions ”modernes” dans le cadre des espaces de module de Shtukas locaux).

Voici un exemple de (2) ⇒ (1) dans le th´ eor` eme pr´ ec´ edent. Il avait ´ et´ e trait´ e auparavant ([29], appendice de [85]) et a servi de guide dans la d´ emonstration de (2) ⇒ (1).

Corollaire 2.4 (Application de la courbe aux surfaces). Supposons p 6= 2. Soit F = {q = 0} ⊂ P

la vari´ et´ e de drapeaux form´ ees des droites isotropes pour la forme quadratique q telle que q(x) = P

i=1

x

x

. Soit Z = {x

= · · · = x

= 0} ∩ F , une vari´ et´ e de Schubert pour G = SO(q). L’espace des p´ eriodes p-adiques des surfaces K3 polaris´ ees ` a r´ eduction supersinguli` ere s’identifie ` a F G( Q

) · Z.

La d´ emonstration du th´ eor` eme 2.3 repose sur la construction suivante. ` A x ∈ F(G, µ)(C) est associ´ e une modification E

de E

. En effet, E

est canoniquement trivialis´ e en ∞ et on utilise le fait que µ est minuscule afin d’associer ` a un tel x une donn´ ee de modification dans G(B

)/G(B

). Via le th´ eor` eme 2.1 la classe d’isomorphisme de E

fournit un ´ el´ ement de B(G). On peut classifier ces ´ el´ ements possibles par un autre ensemble (fini) de Kottwitz B(G, 0, ν

µ

) ([75] coro. 0.10, [11] sec. 4). Cela fournit une stratification de F(G, µ), la strate ouverte ´ etant celle associ´ ee ` a [1] ∈ B(G) qui est exactement l’ouvert admissible i.e. le lieu o` u le G- fibr´ e E

est trivial (cf. [11] sec. 5). C’est l’´ etude de cette stratification qui m` ene

`

a la preuve du th´ eor` eme 2.3. Ce type de stratification apparaˆıt ´ egalement dans [9]

par le mˆ eme type de construction. En effet, les p´ eriodes de Hodge-Tate et de de Rham de la section 1.7.2 s’interpr` etent agr´ eablement au sens o` u si E

E

est une modification minuscule de type µ en ∞ :

• sa p´ eriode de de Rham est donn´ ee par l’´ el´ ement x ∈ F(G, µ)(C) qui identifie la modification ` a E

E

• sa p´ eriode de Hodge-Tate est donn´ ee par l’´ el´ ement y ∈ F(G, µ

)(C) qui identifie la modification ` a E

E

.

Ces p´ eriodes de Hodge-Tate et de de Rham sont l’ombre de deux pattes du champ

de Hecke des modifications des G-fibr´ es (cf. sec. 3.3). Ce type de consid´ erations

sur les p´ eriodes de Hodge-Tate et de de Rham a ´ et´ e une tr` es forte inspiration pour

l’introduction de la conjecture de g´ eom´ etrisation de la section 3.

Puisque nous l’utilisons dans la preuve du th´ eor` eme 2.3, remarquons que la consid´ eration des G-fibr´ es sur la courbe, pour G quelconque, clarifie compl` etement l’isomorphisme entre les tours jumelles de Faltings [20] et [21] (cf. ´ egalement [23] et [82]). Plus pr´ ecis´ ement, pour [b] ∈ B(G) basique le groupe r´ eductif J

devient une forme int´ erieure pure de G apr` es extension des scalaires ` a la courbe : J

× X est la torsion int´ erieure de G × X par le G-torseur E

. Il en r´ esulte une ´ equivalence de groupo¨ıdes entre J

-fibr´ es sur X et G-fibr´ es sur X qui respecte les modifications.

A partir de l` ` a les espaces de modules de modifications sont identifi´ es. On renvoie ` a la section 5.1 de [11] pour plus de d´ etails.

Enfin, l’auteur a commenc´ e ` a s’int´ eresser aux filtrations du type Harder-Narasi- mhan en th´ eorie de Hodge p-adique lors de la d´ ecouverte de l’existence de telles filtrations sur les sch´ emas en groupes finis et plats ([25]). Ces filtrations permettent de d´ efinir des domaines fondamentaux dans les espaces de modules de groupes p-divisibles ([25] coro. 11 et [83]). On a alors la conjecture suivante concernant l’existence de

domaines fondamentaux de Siegel

dans les espaces de p´ eriodes p-adiques. Cette conjecture est li´ ee au th´ eor` eme 2.3 via le fait que lorsque B(G, µ) est pleinement HN d´ ecompos´ e alors F(G, µ) F (G, µ, b)

est

paraboliquement induit

([11] sec. 7).

Conjecture 2.5 ([11] sec. 7). Pour [b] ∈ B(G, µ) basique, sont ´ equivalents : (1) F(G, µ, b)

= F(G, µ, b)

(2) Il existe un ouvert quasicompact U ⊂ F (G, µ, b)

tel que F (G, µ, b)

= J

(E) · U.

Si G est un mod` ele entier de G, les filtrations de Harder-Narasimhan des sch´ emas en groupes finis et plats s’´ etendent aux ϕ-modules de Breuil-Kisin avec G-structure ([68], [74]) ainsi qu’aux ϕ-modules sur A

de la section 1.7.3. En ´ etudiant les G- Shtukas sur Y il est probable que l’on puisse g´ en´ eraliser la preuve de 1.12 ` a cadre l` a.

On peut donc esp´ erer des constructions g´ en´ erales de tels domaines fondamentaux grˆ ace ` a ces techniques.

3. G´ eom´ etrisation de la correspondance de Langlands locale 3.1. La courbe en familles. Soit Perf

la cat´ egorie des F

-espaces perfecto¨ıdes ([80]). On ne s’int´ eresse d´ esormais qu’` a la courbe adique et on note X ce que l’on notait auparavant X

. Pour S ∈ Perf

on peut construire un E-espace adique X

que l’on peut voir comme ´ etant

la famille de courbes adiques (X

)

. Comme dans le cas d’un point base

X

= Y

/ϕ

o` u Y

est

Stein

. Par exemple, si E = F

((π)), Y

= D

= {0 < |π| < 1} ⊂ A

et le Frobenius ϕ est donn´ e par celui de S. Lorsque S = Spa(R, R

) est affino¨ıde perfecto¨ıde l’espace Y

se d´ efinit comme ´ etant

Spa(A, A) V (π[$])

o` u A = W

(R

) si E| Q

, A = R

J π K si E = F

((π)) et $ est une pseudo-

uniformisante de R, 0 < |$| < 1. Ces E-espaces adiques sont pr´ e-perfecto¨ıdes et on

montre que

Y

= S × Spa(E)

o` u ϕ ↔ ϕ

× Id. Ici on utilise la notion de diamant introduite par Scholze ([81], [79]). Si Z est un E-espace adique alors Z

est le faisceau sur Perf

tel que

Z

(T ) = {(T

, ι, f ) |T

est perfecto¨ıde, ι : T −

→ T

, f : T

→ Z}/ ∼ . Cette formule cat´ egorique, bien que particuli` erement ´ el´ egante, ne dit rien sur la g´ eom´ etrie de Y

(par exemple elle ne dit rien sur ce qu’est un fibr´ e vectoriel sur X

).

3.2. R´ esultats de Kedlaya et Liu sur les familles de fibr´ es. Kedlaya et Liu ont montr´ e que l’on dispose d’une bonne notion de fibr´ e vectoriel sur des espaces adiques du type X

([58] sec. 2.7). Ils ont ´ egalement d´ emontr´ e les trois r´ esultats suivants qui sont au coeur de la structure du champ des G-fibr´ es sur la courbe (leurs r´ esultats sont ´ enonc´ es de mani` ere moins

g´ eom´ etrique

en termes de ϕ- modules sur des anneaux de Robba mais sont ´ equivalents ` a ceux qui suivent). Dans cet ´ enonc´ e

τ : (X

)

e

−→ S e

est un morphisme de topos pro-´ etales obtenu par exemple grˆ ace ` a la fonctorialit´ e de la courbe en la base S.

Th´ eor` eme 3.1. Pour S un F

-espace perfecto¨ıde et E un fibr´ e vectoriel sur X

(1) La fonction |S| 3 s 7−→ HN( E

) (polygone de Harder-Narasimhan) est semi-continue sup´ erieurement. En particulier le lieu semi-stable dans S est un ouvert partiellement propre.

(2) Les foncteurs Rτ

et τ

(−)⊗

O

induisent des ´ equivalences inverses entre fibr´ es vectoriels, fibre ` a fibre sur S semi-stables de pente 0, et E-syst` emes locaux pro-´ etales sur S.

(3) Le fibr´ e O(1) est ample au sens o` u, si S est affino¨ıde perfecto¨ıde, alors pour d 0 il existe une surjection O

S

E (d).

Le point (1) se reformule de fa¸ con agr´ eable de la fa¸ con suivante (c’est un exercice de v´ erifier que les deux sont ´ equivalents). Il y a deux fonctions additives (introduites par Colmez dans [12]) sur la cat´ egorie des espaces de Banach-Colmez sur C|E (cf.

sec. 1.6). Ce sont les fonctions dimension et hauteur d´ etermin´ ees par dim G

= 1, dim E = 0, ht G

= 0 et htE = 1 (par r´ ef´ erence ` a la hauteur et la dimension du revˆ etement universel d’un groupe p-divisible, un cas particulier d’espace de Banach- Colmez). Pour un fibr´ e vectoriel F sur la courbe X

associ´ ee ` a F = C

on peut alors d´ efinir la dimension et la hauteur des espaces de Banach-Colmez H

(X

, F ) et H

(X

, F ) (plus pr´ ecis´ ement, ces espaces sont d´ efinis par troncature via la t- structure du th´ eor` eme 1.9, la fonction dimension sur le coeur de cette t-structure co¨ıncide alors avec le degr´ e et la hauteur avec le rang, les deux vues comme fonctions additives sur D

(O

)). Le point (1) se reformule alors en le fait que pour • ∈ N , la fonction

|S| −→ dim H

(X

, E

), ht H

(X

, E

)

∈ N × Z

est semi-continue sup´ erieurement (puisque dim H

− dim H

= deg E et ht H

−

ht H

= rg E qui sont localement constants, cela se ram` ene au mˆ eme ´ enonc´ e pour

le H

). Cela replace ce type de r´ esultat dans le cadre conceptuel des r´ esultats de

semi-continuit´ e de [48] (mais malheureusement l’auteur ne sait pas donner un sens au fait que Rτ

E soit un

complexe parfait de quoi que ce soit

, ce qui donnerait une preuve rapide de cette semi-continuit´ e).

Le point (2) est une vaste g´ en´ eralisation aux Q

-syst` emes locaux du th´ eor` eme de Lang (qui concerne les Z

-syst` emes locaux). Plus pr´ ecis´ ement, si S = Spa(R, R

) alors d’apr` es Lang,

O

-syst` emes locaux pro-´ etales −−→

ϕ−Mod

R,R+

o` u les ϕ-modules sont ceux de la section 1.7.3 et la condition d’ˆ etre ´ etale signifie simplement que ϕ : M −

→ M est un isomorphisme. Cette condition se r´ e´ ecrit du point de vue du th´ eor` eme pr´ ec´ edent en demandant que pour tout s ∈ S, (M, ϕ) ⊗

A

soit ´ etale. Le point (2) du th´ eor` eme pr´ ec´ edent remplace donc la condition d’ˆ etre ´ etale fibre ` a fibre par la condition d’ˆ etre semi-stable de pente 0 fibre ` a fibre et l’anneau A par un anneau de Robba.

Remarquons que le point (2) est ´ egalement une g´ en´ eralisation du r´ esultat

du type Narasimhan-Seshadri

1.6.

Pour le point (3) on renvoie ` a la discussion apr` es 1.7.

3.3. Le champ Bun

et la conjecture de g´ eom´ etrisation. Motiv´ e par l’appa- rition syst´ ematique des modifications de fibr´ es vectoriels (sec. 1.7.2), le th´ eor` eme 2.1, les conjectures de Kottwitz d´ ecrivant la partie discr` ete de la cohomologie des espaces de Rapoport-Zink ([76]), les travaux naissants de Scholze sur la construc- tion de L-param` etres via la cohomologie des espaces de Shtukas locaux ([81],[64]) et bien sˆ ur ceux de l’´ ecole russe autour du programme de Langlands g´ eom´ etrique ([19], [46]), on a formul´ e une conjecture de g´ eom´ etrisation de la correspondance de Langlands locale ([32], [38]). Puisqu’il s’agit d’un travail en cours nous n’allons pas nous ´ etendre en d´ etail dessus. Indiquons seulement quelques points en lien avec les r´ esultats pr´ ec´ edents.

On d´ efinit le champ Bun

sur Perf

Fq

comme ´ etant S 7→ {G-fibr´ es sur X

}. On le voit comme un champ pour la v-topologie ([79]). Le point de d´ epart est que le th´ eor` eme 2.1 donne une identification

B (G) = |Bun

|.

Il faut prendre garde au fait que la topologie quotient sur B(G) = G( ˘ E)/σ-conj. est la topologie discr` ete (si les matrices de Frobenius de deux isocristaux sont proches elles sont σ-conjugu´ ees). Ce n’est pas la topologie qui nous int´ eresse, on regarde plutˆ ot celle de |Bun

| induite par les sous-champs ouverts. L’application premi` ere classe de Chern , i.e. -κ sur B(G) (cf. sec. 2.1), est localement constante ([38]) et fournit une d´ ecomposition en sous-champs ouverts/ferm´ es

Bun

= a

α∈π1(G)_Γ

Bun

.

Il y a une application polygone de Harder-Narasimhan semi-continue ` a valeurs

dans une chambre de Weyl (cet ´ enonc´ e peut se d´ eduire de 3.1 (1)). Contentons

nous seulement de dire que le lieu semi-stable est ouvert. Cet ´ enonc´ e est ` a mettre

en parall` ele avec le fait que le lieu basique dans la fibre sp´ eciale d’une vari´ et´ e

de Shimura est ferm´ e ; la coh´ erence entre les deux ´ enonc´ es provenant du fait que

le tube, au sens de la g´ eom´ etrie rigide, au dessus d’un ferm´ e est ouvert. D’apr` es