Examen de l’UE ´ El´ ements d’analyse num´ erique

ENSEEIHT — 2`eme Ann´ee parcours Imagerie et Multim´edia & CIRMA

UE Analyse num´erique Mercredi 2 avril 2014

Examen de l’UE ´ El´ ements d’analyse num´ erique

Session 1

Document autoris´ e : 1 page A4 recto-verso

Les 2 parties sont ` a r´ ediger sur des feuilles diff´ erentes

1 Partie Interpolation et approximation 2 Partie ´ equation diff´ erentielles ordinaires

B Exercice 1. (4 points) On consid`ere l’´equation diff´erentielle lin´eaire `a condi- tion initiale

(IV P)1







˙

y₁(t) =−y₂(t)

˙

y2(t) =y1(t) +t y(0) =y0. 1.1. Ecrire le syst`´ eme sous la forme

(IV P)₂

y(t) =˙ Ay(t) +b(t) y(0) =y₀.

On donnera la matriceA et la fonctionb.

1.2. Sachant que

A=PΛP⁻¹, avec

P =

1 1

−i i

et Λ =

i 0 0 −i

, Calculere^tA.

1.3. On rappelle que la solution d’un syst`eme lin´eaire (IV P)2

y(t) =˙ A(t)y(t) +b(t) y(t0) =y0.

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UE Analyse num´erique Examen – EDO

s’´ecrit

y(t) =R(t, t0)y0+ Z _t

t0

R(t, s)b(s)ds.

Calculer `a l’aide de cette formule la solution du probl`eme de d´epart (IV P)₁. B Exercice 2. (4 points) On consid`ere l’´equation diff´erentielle lin´eaire auto-

nome `a condition initiale (IV P)2

y(t) =˙ Ay(t) +b y(t₀) =y₀,

et le sch´ema de Runge Kutta donn´e par le tableau de Butcher 1 (sch´ema de type Lobatto IIIC)

0 1/6 −1/3 1/6

1/2 1/6 5/12 −1/12

1 1/6 2/3 1/6

1/6 2/3 1/6

Table 1 –Tableau de Butcher pour le sch´ema de Lobatto IIIC d’ordre 4.

2.1. Ecrire le premier pas de ce sch´´ ema.

2.2. Ce sch´ema est-il explicite ou implicite ?

2.3. Donner la dimension et ´ecrire le syst`eme lin´eaire que l’on doit r´esoudre

`

a chaque pas pour calculer les vecteursk_i du sch´ema.

B Exercice 3. (4 points) On consid`ere un satellite de masse n´egligeable qui tourne autour de la Terre. Le syst`eme diff´erentiel qui d´ecrit le mouvement dans un syst`eme de coordonn´ees cart´esiennes est le suivant :

(IV P)₁



















¨

x₁(t) =− µx₁(t)

||x(t)||³

¨

x₂(t) =− µx₂(t)

||x(t)||³ x(0) =x0

˙

x(0) =v₀,

o`ux(t) = (x₁(t), x₂(t)) est la position du satellite, ¨x(t) est son acc´el´eration,

||x(t)|| =p

x²₁(t) +x²₂(t), µ est une constante etx₀ et ˙x₀ sont les position et vitesse initiales.

3.1. Ecrire le syst`´ eme sous la forme (IV P)₂

y(t) =˙ ϕ(t, y(t)) y(0) =y₀. On explicitera l’applicationϕety0.

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3.2. On note y(t, y0) la solution `a l’instant t du syst`eme (IV P)2. Quelles sont les dimensions de

∂y

∂y₀(t, y0).

3.3. Donner l’´equation variationnelle dont est solution

∂y

∂y₀(., y₀).

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