MPSI B DS 11 29 juin 2019
Problème 1.
On considère
1trois nombres réels R , r et α ( α < 1 ) liés par la relation r = αR
Dans toute la suite, on suppose le plan rapporté à un repère orthonormé (O, − → i , → −
j ) et on considère :
le point A de coordonnées (R, 0) . le cercle C de centre O et de rayon R . le cercle γ centré sur la demi-droite (O, − →
i ) et tangent intérieurement à C en A . De plus, pour tout nombre réel t , on considère
le cercle γ(t) centré sur la demi-droite d'angle polaire t , de rayon r et tangent intérieu- rement à C .
le point ω(t) centre du cercle γ(t) .
le point C(t) en lequel les cercles γ(t) et C sont tangents.
Il est recommandé de construire une gure claire faisant apparaître ces diérents éléments.
On fait rouler sans glisser le cercle γ à l'intérieur du cercle xe C , il coïncide à l'instant t avec le cercle γ(t) . On étudie alors la trajectoire H (α) du point lié au cercle situé en A à l'instant 0 . On désigne par M (t) la position de ce point à l'instant t (au moment où γ coïncide avec γ(t) ).
Partie I. - Équations paramétriques de l'hypocycloïde H (α)
L'hypothèse de roulement sans glissement de traduit, par dénition, par l'égalité à tout instant t des deux longueurs des arcs orientés M (t)C(t) sur le cercle γ(t) et AC(t) sur le cercle C
1. Préciser la longueur commune de ces deux arcs orientés. En déduire des mesures des angles orientés ( −−−−−−→
ω(t)M (t), −−−−−→
ω(t)C(t)) et ( − →
i , −−−−−−→
ω(t)M (t)) en fonction de t . 2. Déterminer les axes des points C(t) et ω(t) .
3. En écrivant −−−−→
OM (t) = −−−→
Oω(t) + −−−−−−→
ω(t)M (t) déterminer l'axe z(t) du point M (t) en fonction de t , R , α . On vériera en particulier l'égalité suivante pour α =
13:
z(t) = R
3 (2e
it+ e
−2it)
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d'après École de l'air 2004 II
Partie II. - Étude et construction de H (
13) 1. Construction de H (
13) .
a. Comparer z(t +
2π3) et z(t) puis z(−t) et z(t) . Que peut-on en conclure géométri- quement et sur quel intervalle sut-il d'étudier H (
13) ?
b. Déterminer l'axe z
0(t) du vecteur dérivée, préciser son module et un argument lorsque t ∈ I .
c. En déduire les valeurs de t appartenant à I pour lesquelles le point M (t) est régulier, puis préciser alors l'expression des vecteurs unitaires −−→
T(t) et −−→
N (t) du repère de Frenet en M (t) .
d. Étudier les variations de de x(t) égal à la partie réelle de z(t) et y(t) égal à la partie imaginaire de z(t) pour t ∈ I .
e. Construire la trajectoire H (
13) de M (t) lorsque t varie.
2. Courbure et développée de H(
13) .
a. Déterminer, pour t ∈ I , la longueur de l'arc orienté de M (t) à M (
π3) . En déduire la longueur de H(
13) .
b. Déterminer une mesure φ(t) de l'angle orienté ( − → i , −−→
T (t) pour t non nul appartenant à I .
c. En déduire le rayon de courbure ρ(t) en M (t) pour t non nul appartenant à I . d. Vérier que l'axe ζ(t) du centre de courbure
Ω(t) = M (t) + ρ(t) −−→
N (t) est égale à
ζ(t) = R(2e
it− e
−2it)
e. Comparer ζ(t) et z(t+
π3) . Que peut-on en conclure géométriquement ? Construire sur une même gure les trajectoires de M (t) et Ω(t) lorsque t varie.
Partie III. - Étude de H (α) pour α rationnel et irrationnel 1. Étude et construction de H (α) .
a. Comparer z(t + 2πα) et z(t) puis z(−t) et z(t) . Que peut-on en conclure géomé- triquement et sur quel intervalle I sut-il d'étudier H(α) ?
b. Déterminer l'axe z
0(t) du vecteur dérivé et préciser son module et un argument.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai S0411EMPSI B DS 11 29 juin 2019
c. Vérier que les points stationnaires sont les points M (t
q) où t
q= 2πqα avec q ∈ Z.
Déterminer l'axe z
qde M (t
q) et indiquer comment M (t
q+1) se déduit de M (t
q) . Exprimer z
00(t) à l'aide de z
q= z(t
q) et en déduire que les points stationnaires sont de rebroussement.
d. Si α =
pqest rationnel (avec p , q entiers naturels premiers entre eux), préciser les axes et le nombre de points stationnaires distincts de H(
pq) .
Donner ainsi sans autre justication l'allure de H (
23) après avoir placé ses points stationnaires.
e. Si α est irrationel, montrer que les points M (t
q) sont deux à deux distincts.
2. Densité des points de rebroussements de H(α) dans (C) pour α irrationnel.
On considère le sous-groupe additif de R déni par G = {qα + p, (p, q) ∈ Z
2}
où α est un nombre irrationnel strictement positif. On note G
∗+la partie formée par les éléments strictement positifs de G . On note g sa borne inférieure. On admet dans cette question que g = 0 .
a. Montrer qu'il existe, pour tout réel > 0 et tout réel x deux entiers p et q tels que
|x − qα + p| <
b. En déduire , pour tout réel > 0 et pour tout réel θ , qu'il existe au moins un point stationnaire M (t
q) d'axe z
qappartenant à H(α) et tel que |Re
iθ−z
q| < . c. Établir que les points de rebroussement de H (α) sont denses dans le cercle C si
et seulement si le réel α est irationnel.
3. Les notations étant celles de la question précédente, on établit ici par l'absurde que g = 0 .
On suppose que g > 0 . Mntrer que si g n'appartient pas à G , il existe deux éléments g
1et g
2de G tels que
g < g
2< g
1< 2g
puis qu'il existe un élément g
0de G tel que 0 < g
0< g . Qu'en déduit-on pour g ?
Problème 2.
Soit n un entier positif. Dans M
n( R ) , on note I la matrice identité et on distingue les deux matrices
S =
0 · · · 0
1 0
0 1 ... ...
... ... ... 0 0 · · · 0 1 0
, T =
0 · · · 0 1
1 0 0
0 1 ... ...
... ... ... 0 0 · · · 0 1 0
On note S et T les sous-espaces vectoriels engendrés respectivement par I, S, · · · , S
n−1et I, T, · · · T
n−1.
Si A et B appartiennent à M
n( R ) , on dénit (A/B) = 1
n tr(A
tB) 1. Préciser les dimensions de S et T et l'intersection S ∩ T .
2. Pour p ∈ {1, · · · , n − 1} , exprimer T
pen fonction d'une puissance de S et de la trans- posée d'une puissance de S .
3. Montrer que ( / ) est un produit scalaire sur M
n( R ) .
4. Montrer que (I, S, · · · , S
n−1) et (I, T, · · · , T
n−1) sont respectivement des bases ortho- gonales et orthonormées de S et T .
5. En considérant le produit scalaire (S
q/T
p) , montrer que pour p ∈ {1, · · · , n} , S
pest la projection orthogonale de T
psur S .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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![1. a. Soit f : [0, π] → R une fonction continue. Montrer qu'il existe une unique fonction dérivable F : [0, π] → R telle que F 0 = f et Z π](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)