Diagonalisation
1 Soit u L(E) diagonalisable, P K[X]. Montrer que u, u2, P(u), u1 s'il existe le sont.
2
b a 0
1 ,
0 0
1 2
a
a ,
1 2
. .
a a
an
sont-elles diagonalisables dans Mn(ℝ), dans Mn(ℂ) ?
3
1 0
10 4 est-elle diagonalisable ? Résoudre dans M2(ℝ) : X32X =
1 0 10 4 .
4 A =
2 0 1 0
0 2 1 0
0 0 1 0
1 a b c
est-elle diagonalisable ? Si oui, exprimer An en fonction de A et I4.
5 Soit AMn(K) diagonalisable ; B = tA est-elle diagonalisable ? Même question avec trigonalisable.
6 Soit u L(E) diagonalisable. Montrer que Ker u et Im u sont supplémentaires.
7 Donner deux matrices diagonalisables dans M2(ℝ) dont le produit ne l'est pas.
8 Dans un EV de dimension finie, montrer qu'un endomorphisme de rang 1 est diagonalisable SSI son image n'est pas contenue dans son noyau.
9 Soit E un ℂ-EV de dimension finie n, q 1 et T L(E) tel que Tq= Id. Montrer que T est diagonalisable.
Même question si : x E, q 1, Tq(x) = x. Etudier le cas où E n'est pas de dimension finie.
10 Soit M Mn(ℂ) telle que Mn = In ; M est-elle diagonalisable ? Déterminer toutes les matrices M Mn(ℂ) telles que Mn = In et tr M = n.
11 Soit M =
0
0 0
b a
c a
c b
. Est-elle diagonalisable dans Mn(ℝ) , dans Mn(ℂ) ?
12 K = ℂ, u L(E). Montrer que u est diagonalisable SSI ℂ, rg(uId) = rg(uId)2. 13 Soit M Mn(ℂ) ; on suppose M2 diagonalisable ; trouver une CNS simple pour que M soit diagonalisable.
14 Soit AMp(K), BMq(K) diagonalisables, et C Mp,q(K) ; on suppose que SpA SpB = .
Montrer que M =
B C A
0 est diagonalisable.
15 Soit n = dim E, f L(E). Montrer que f est diagonalisable SSI il existe n hyperplans stables par f d'intersection nulle.
16 A =
10 2 3
11 3 3
45 9 13
est-elle diagonalisable ? Trouver a, b, c réels, P tels que P1AP =
b c b a
0 0 0
0 0
.
