MPSI B DS 6 29 juin 2019
Exercice
Soit A , B , C des sous-espaces vectoriels non réduits au vecteur nul d'un K espace vectoriel E de dimension nie.
1. Montrer que
A ∩ C + B ∩ C ⊂ (A + B) ∩ C ⊂ A ∩ (B + C) + B ∩ (A + C) ⊂ A + B 2. Montrer que
A ∩ C + B ∩ C = (A + (B ∩ C)) ∩ C
3. On dénit le sous-espace A+B +C et le nombre n(A, B, C) par les relations suivantes : x ∈ A + B + C ⇔ ∃(a, b, c) ∈ A × B × C tq x = a + b + c
dim(A + B + C) = dimA + dimB + dimC
− (dim(A ∩ B) + dim(B ∩ C) + dim(C ∩ A)) + dim(A ∩ B ∩ C) − n(A, B, C )
Préciser le signe de n(A, B, C) . Donner une conguration des sous-espaces pour laquelle n(A, B, C) = 0 . Donner une conguration des sous-espaces pour laquelle n(A, B, C) 6=
0 .
Problème 1
On désigne par E a l'ensemble des suites réelles u = (u n ) n∈N satisfaisant à la relation de récurrence
∀n ∈ N , 4u n+3 = 4(1 + a)u n+2 − (1 + 4a)u n+1 + u n (1) On note K l'ensemble des suites constantes.
1. a. Montrer que E a est un sous-espace vectoriel de l'espace des suites réelles b. Montrer que dim E a = 3 .
2. a. Montrer que K est un sous-espace vectoriel de E a . b. Soit u = (u n ) n∈
N un élément de E a , on dénit une suite v = (v n ) n∈
N en posant
∀n ∈ N , v n = u n+1 − u n
Établir une relation de récurrence (2) satisfaite par v .
c. On désigne par F a l'ensemble des suites réelles satisfaisant (2) . Montrer que F a
est un sous-espace vectoriel de E a .
3. Déterminer une base de F a . On distinguera trois cas : 0 ≤ a < 1, a = 1, a > 1 Lorsque 0 ≤ a < 1 , on posera a = cos θ avec θ ∈]0, π 2 [ . Lorsque a > 1 , on posera a = ch θ avec θ > 0
4. Montrer qu'il existe une unique valeur a 0 de a que l'on calculera pour laquelle K ⊂ F a . 5. Dans cette question, a est diérent du a 0 de la question précédente.
a. Montrer que K et F a sont supplémentaires dans E a . Comment se décompose une suite de E a en la somme d'une suite de K et d'une suite de F a ?
b. En déduire une base de E a dans chacun des trois cas.
6. Montrer que (n) n∈ N ∈ E a
0. En déduire une base de E a
0. 7. Soit u l'élément de E a déterminé par les conditions initiales
u 0 = 1 − p
|a 2 − 1|, u 1 = 1, u 2 = 1 + 1 4
p |a 2 − 1|
Calculer u n en fonction de n . On discutera suivant les valeurs de a en utilisant les mêmes notations que dans la question 3.
Problème 2
On rappelle que le symbole de Kronecker δ ij vaut 1 si i = j et 0 sinon.
L'objet de ce problème est de démontrer le Lemme de Hochschild (question 1) et d'en déduire une application.
Soit X un ensemble quelconque et V un sous espace vectoriel de dimension p de l'espace de toutes les fonctions de X dans R.
1. a. Montrer qu'il existe x 1 ∈ X et une base (a 1 , a 2 , · · · , a p ) de V telle que
∀i ∈ {1, · · · , p} : a i (x 1 ) = δ i1 .
b. Soit k < p , on suppose qu'il existe une famille (x 1 , x 2 , · · · , x k ) d'éléments de X et une base (u 1 , · · · , u p ) de V telle que
∀i ∈ {1, · · · , p}, ∀j ∈ {1, · · · , k} : u i (x j ) = δ ij .
Montrer qu'il existe un élément x k+1 de X et une base (v 1 , · · · , v p ) de V telle que
∀i ∈ {1, · · · , p}, ∀j ∈ {1, · · · , k + 1} : v i (x j ) = δ ij .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai S0306EMPSI B DS 6 29 juin 2019
c. Montrer qu'il existe une base (w 1 , · · · , w p ) de V et une famille (x 1 , · · · , x p ) d'élé- ments de X vériant
∀(i, j) ∈ {1, . . . , p} 2 : w i (x j ) = δ ij .
2. Application. Soit f une fonction dérivable de R dans R telle que l'espace engendré par ses translatées soit de dimension nie. On va montrer qu'elle vérie une équation diérentielle linéaire à coecients constants.
Pour tout réel a , on note f a l'application dénie par f a (t) = f (a + t) pour tout t réel.
On pose
V = Vect(f a , a ∈ R )
et on suppose que V (sous-espace de l'espace de toutes les applications dérivables de R dans R) est de dimension nie p .
a. Montrer qu'il existe une base (v 1 , · · · , v p ) de V et des réels (x 1 , · · · , x p ) tels que
∀(a, b) ∈ R 2 , f(a + b) = X
i∈{1,...,p}
f (a + x i )v i (b).
b. Montrer que f est indéniment dérivable, que f 0 est dans V et qu'il existe des réels a 0 , a 1 , · · · a p tels que
a p f (p) + a p−1 f (p−1) + · · · + a 1 f 0 + a 0 f = 0.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
