Université Cadi Ayyad Faculté PolyDisciplinaire -Safi-
Département de Maths-Info Série No 2 A.U : 2019/2020
Exercice 1. Montrer que :
1. si B est un sous-anneau unitaire deAalorsAet B ont même caractéristique.
2. la caractéristique d’un domaine d’intégrité est soit nulle, soit un nombre premier.
3. si la caractéristique d’un anneau est nulle, alors il est infini.
Soit p un nombre premier
4. si Aest un anneau unitaire de caractéristiquepalors pour tous élémentsxety dansAon a : a (x+y)p=xp+yp.
b (xy)p=xpyp
Exercice 2. Etablir les isomorphismes suivantes : 1. Z[X]/(3, X)'Z/3Z.
2. Z[X]/6Z'(Z/6Z)[X].
Exercice 3. SoitA un anneau commutatif et I un idéal de A. On note I[X] l’ensemble des polynômes à une indéterminer et à coefficients dansI.
1. Montrer que I[X]est un idéal deA[X]et queA[X]/I[X]'(A/I)[X]
2. Montrer que I[X]est premier dansA[X]si et seulement siI est un idéal premier deA.
Exercice 4. SoitAun anneau unitaire, commutatif. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : i) Spec(A) ={P};
ii) Tout élément deAest soit inversible soit nilpotent ; iii) A/N(A)est un corps.
Exercice 5. 1. SoitK un corps. Montrer que les idéaux premiers deK[X]sont les(P)avecP irréductible dansK[X].
2. Déterminer tous les idéaux premiers de : C[X],R[X]/(X2+X+ 1)et C[X]/(X2−1).
Exercice 6. SoitAun anneau unitaire, commutatif. Pour toute partieE deA, on pose V(E) ={P ∈Spec(A);E⊆P}.
1. Soit< E > l’idéal engendré parE. Montrer queV(E) =V(< E >) =V(√
< E >).
2. DéterminerV({0})et V({1}).
3. Si(Ei)i∈I une famille non vide de parties deA, prouver queV([
i∈I
Ei) =\
i∈I
V(Ei).
4. Démontrer que, quels que soient les idéauxI et J deA, on a : V(I∩J) =V(IJ) =V(I)∪V(J).
5. Conclure.
Exercice 7. SoitAun D.I. Pour toutP ∈Spec(A), AP désigne le localisé deAenP. Soient xy ∈ \
P∈Spec(A)
AP etJ ={α∈A;αx∈Ay}.
1. Vérifier queJ est un idéal deA.
2. Montrer que pour toutP ∈Spec(A),J *P.
3. Déduire que 1∈J.
Pr. Mohammed Karmouni Page 1/2 SMA, S6, Alg. Commutative
4. Déduire que \
P∈Spec(A)
AP =A.
Exercice 8. Supposons queA soit un produit fini d’anneauxAi : on aA=A1×A2×...×An. 1. Montrer que les idéaux de Asont de la formeI1×I2×...×In,Ij est un idéale deAj. 2. Déterminer les idéaux premiers et maximaux de A.
3. Supposons de plus que lesAi soient des corps. Montrer queAn’a qu’un nombre fini d’idéaux.
Exercice 9. Soitf :C[X, Y]−→C[X], tel quef(P) =P(X, X2).
1. Vérifier quef est un morphisme d’anneaux surjectif.
2. Montrer que Kerf= (Y −X2).
3. Déduire que C[X, Y]/(Y −X2)est un anneau principal.
Exercice 10. SoitS une partie multiplicative deA. Montrer que : 1. S−1An’est pas nul.
2. si Aest un D.I, alorsS−1Aest un D.I.
3. si N(A) ={0}, alorsN(S−1A) ={0}.
4. N(S−1A) =S−1N(A).
Exercice 11. (Facultatif)
On se donne deux réelsa < betA=C([a, b],R)est laR-algèbre des fonctions continues de[a, b]dansR. On munit cette algèbre de la norme de la convergence uniformekf k∞= sup
x∈[a,b]
|f(x)|.
1. L’anneauA est-il intègre ?
2. Pour tout x0∈R, montrer que tout morphisme d’anneauϕx0 deAdansRest de la formef −→ϕx0(f) = f(x0).
3. Montrer que, pour tout réel x∈[a, b]l’ensembleIx={f ∈A, f(x) = 0}est un idéal maximal deA.
4. Montrer qu’un idéal maximal deAest fermé.
5. SoitI un idéal maximal deA. Montrer que l’ensemble :
Z(I) ={x∈[a, b],∀f ∈I, f(x) = 0}
est un fermé non vide de[a, b].
6. Montrer que les idéaux maximaux de Asont lesIx oùx∈[a, b].
Exercice 12. (Facultatif)
1. Montrer que le polynômeX2+ 2X+ 2 divise le polynômeX4+ 4dansZ[X]
2. Montrer que le polynômeX2+ 2X+ 2 est irréductible dansZ/3Z[X]
3. En déduire la décomposition du polynôme X4+ 1 dansZ/3Z[X]en produit de polynôme irréductible.
4. On poseI= (X2+ 2X+ 2)R[X],J = (X2−2X+ 2)R[X]etK= (X4+ 4)R[X]. Montrer queI+J =R[X].
En déduire queR[X]/I×R[X]/J'R[X]/K.
5. On poseH = (Y2+ 2Y + 1)R[Y]. Montrer queR[Y]/H'R[X]/J. Théorème(Lemme Chinois)
SoientI etJ deux idéaux étrangés d’un anneau commutatif unitaire. Alors L’homomorphisme canonique f : A −→ (A/I)×(A/J)
a 7−→ (a+I, a+J) induit un isomorphisme d’anneauxfedeA/(I.J)sur(A/I)×(A/J), c-à-d
A/(I.J)'(A/I)×(A/J).
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