Université Cadi Ayyad Faculté PolyDisciplinaire -Safi-
Département de Maths-Info Série No 3 A.U : 2019/2020
Exercice 1. SoientM unA-module à gauche,m∈M et a∈A. Montrer que : 1. 0Am= 0M;
2. (−1A)m=−m; 3. a0M = 0M.
Exercice 2. 1. Soient A un anneau unitaire et M un A-module à gauche. L’annulateur de M dans A est l’ensemble :
(0 :M) ={a∈A;am= 0,∀m∈M}.
a Montrer que(0 :M)est un idéal bilatère deA.
b SoitN un sous-module de M. Montrer que l’ensemble (N : M) ={a∈ A;am∈ N,∀m ∈ M} est un idéal bilatère deA.
2. Soient A un D.I et M un A-module. On dit que x∈ M est de torsion si (0 : x) 6= {0}. On note T(M) l’ensemble des éléments de torsion deM. SiT(M) ={0}, on dit queM est sans torsion.
a Dans leZ/6Z-moduleZ/6Z, déterminer(0 : 2), (0 : 3)et(0 : 5).
b Soient lesZ-modulesZetZ/2Z. DéterminerT(Z)et T(Z/2Z).
3. Montrer queT(M)est un sous-module deM. Donner un contre-exemple lorsque l’hypothèse queAest un anneau intègre n’est pas vérifiée.
4. Montrer que M/T(M)est sans torsion.
5. Montrer que si f ∈HomA(M, N), alorsf(T(M))⊂T(N). Donner un exemple ou l’inclusion est stricte.
6. On suppose de plus dans cette question que f est injectif. Soitg ∈HomA(N, P)tel queKer(g) = Imf. Montrer queKer(g)∩T(N) =f(T(M)).
Exercice 3. SoitM unA-module etm∈M un élément dont l’annulateur est réduit à{0}. Montrer l’équivalence des propriétés suivantes :
1. mApossède un supplémentaire dansM; 2. il existe f ∈Hom(M, A)tel quef(m) = 1.
Montrer qu’alors M =mA⊕Kerf.
Exercice 4. Montrer qu’un idéal non nul d’un anneauAest un sous-module libre deAsi, et seulement si,Iest principal et engendré par un élément non diviseur de zéro deA.
Exercice 5. Soient Aun anneau, M unA-module et N un sous-module. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
1. N possède un supplémentaire dansM; 2. N est le noyau d’un projecteur deM; 3. N est l’image d’un projecteur deM.
Exercice 6. SoientLet M deuxA-modules etf ∈HomA(L, M).
1. SoitN un sous-module deM de type fini. Montrer que siM/N est de type fini alorsM est de type fini.
2. On suppose queKerf et Imf sont de type fini. Montrer que Lest de type fini.
3. On suppose quekerf 'Ap etImf 'Aq. Montrer queL'Ap+q.
Exercice 7. 1. SoitM un sous-Z-module de Qde type fini. Montrer queM est libre de rang0 ou de rang un. En particulier, leZ-moduleQn’est pas de type fini.
2. Quelles sont les parties libres maximales deQ?
3. Le Z-moduleQpossède-t-il des parties génératrices minimales ?
Pr. Mohammed Karmouni Page 1/1 SMA, S6, Alg. Commutative
