Cahier de texte

Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014

D. Blotti`ere Math´ematiques

Cahier de texte

Semaine 13 (du 6 au 10 janvier)

Lundi 6 janvier : cours (1h45) et interrogation de cours n˚11 (15’)

Suite du chapitre 4 ^≪Fonction r´eelle de la variable r´eelle^≫

• D´efinition d’une fonctionnfois d´erivable sur un intervalle et de la d´eriv´een^i`emed’une telle (n∈N∗).

• Th´eor`eme de la bijection.

• Th´eor`eme sur la d´erivabilit´e et la d´eriv´ee d’une fonction r´eciproque.

Lundi 6 janvier : TD (2h)

Devoir surveill´e n˚3

• Correction de l’exercice 5 (´etude de la fonctionx7→^x2e

1 x

3x−2).

Mardi 7 janvier : cours (2h)

Suite du chapitre 4 ^≪Fonction r´eelle de la variable r´eelle^≫

• D´efinition de la fonction logarithme n´ep´erien (l’unique primitive dex7→ ¹

x sur ]0,+∞[ qui s’annule en 1).

• Propri´et´es de la fonction logarithme n´ep´erien (ensemble de d´efinition, formule int´egrale, continuit´e, d´erivabilit´e et d´eriv´ee, sens de variation, tableau de signes, limites en 0⁺ et en +∞, propri´et´es alg´ebriques, courbe repr´esentative).

• D´efinition de la fonction exponentielle (fonction r´eciproque de ln).

• Propri´et´es de la fonction exponentielle (ensemble de d´efinition, siy∈Ralors exp(y) est l’unique solution de ln(x) =y d’inconnue x∈R_>0, continuit´e, d´erivabilit´e et d´eriv´ee, sens de variation, stricte positivit´e, limites en −∞et en +∞, propri´et´es alg´ebriques, courbe repr´esentative).

• Expressions formelles de l’injectivit´e de ln et de l’injectivit´e de exp.

• D´efinition de la notation puissance x^α pourα∈Retx∈R_>0.

• Coh´erence de la notation puissance pr´ec´edente avec les notations puissances d´ej`a rencontr´ees (cas o`uα∈N et cas o`u α∈Z).

Devoirs

• R´esoudre les exercices 86, 87 et 89 de la feuille de TD n˚10 ^≪Fonctions de la variable r´eelle `a valeurs dansRouC≫.

Jeudi 9 janvier : cours (2h)

Suite du chapitre 4 ^≪Fonction r´eelle de la variable r´eelle^≫

• Propri´et´es de la notation puissance.

• D´efinition de la fonction^≪puissanceα^≫ pourα∈R^∗.

• Propri´et´es des fonctions puissances (continuit´e, d´erivabilit´e et d´eriv´ee, limites en 0⁺ et en +∞, courbe repr´esentative).

• Autre notation pour l’exponentielle d’un nombre r´eel : si l’on posee:= exp(1) alors on a pour toutx∈R, exp(x) =e^x.

• D´efinitions de la fonction cosinus hyperbolique et de la fonction sinus hyperbolique.

• Une formule de trigonom´etrie hyperbolique : pour tout x∈R, ch²(x)−sh²(x) = 1.

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• Propri´et´es de la fonction sinus hyperbolique (imparit´e, limites en−∞et en +∞, continuit´e, d´erivabilit´e et d´eriv´ee, sens de variation, tableau de signes, courbe repr´esentative).

Jeudi 9 janvier : TD (1h)

Feuille de TD n˚10 ^≪Fonctions de la variable r´eelle `a valeurs dansRouC≫.

• Correction des exercices 86, 87 et 89.

Vendredi 10 janvier : cours (1h)

Suite du chapitre 4 ^≪Fonction r´eelle de la variable r´eelle^≫

• Propri´et´es de la fonction cosinus hyperbolique (parit´e, limites en−∞et en +∞, continuit´e, d´erivabilit´e et d´eriv´ee, sens de variation, 1 est le minimum de ch et est atteint en 0, courbe repr´esentative).

• D´efinition de la fonction tangente hyperbolique.

• Propri´et´es de la fonction tangente hyperbolique (imparit´e, limites en−∞et en +∞, continuit´e, d´erivabilit´e et d´eriv´ee, sens de variation, tableau de signes, courbe repr´esentative).

Devoirs

• R´esoudre les exercices 96 et 97 de la feuille de TD n˚10 ^≪Fonctions de la variable r´eelle `a valeurs dansR ouC≫.

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