Cahier de texte

Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014

D. Blotti`ere Math´ematiques

Cahier de texte

Semaine 6 (du 4 au 8 novembre)

Lundi 4 novembre : cours (2h)

Suite du chapitre 2 ^≪Logique, ensembles et applications^≫

• Distributivit´e de ou par rapport `a et (resp. de et par rapport `a ou).

• D´efinition d’une implication.

• D´efinition d’une condition n´ecessaire (resp. suffisante).

• N´egation d’une implication.

• D´efinition de la r´eciproque d’une implication.

• D´efinition de la contrapos´ee d’une implication.

• Une implication et sa contrapos´ee ont mˆeme valeur de v´erit´e.

• D´efinition d’une ´equivalence.

Lundi 4 novembre : TD (2h)

Devoir libre n˚2

• Correction des exercices 1 et 2.

Mardi 5 novembre : cours (2h)

Suite du chapitre 2 ^≪Logique, ensembles et applications^≫

• Exemple de d´emonstration d’une propri´et´e commen¸cant par ∀:

∀x∈[−1,3], 0≤x²≤9.

• Exemple de d´emonstration d’une implication : la fonction carr´ee est strictement croissante surR⁺, i.e. :

∀x∈R⁺, ∀y∈R⁺, x < y ⇒ x²< y².

• Exemple de d´emonstration d’une ´equivalence :

∀x∈R, 0≤x≤2 ⇔ 2≤x²−2x+ 3≤3.

• Axiome de r´ecurrence.

• D´emonstration de la propri´et´e : pour tout n∈N^∗, Xn

k=1

k= n(n+ 1)

2 .

Devoirs

• D´emontrer que pour tout n∈N^∗, Xn

k=1

k²= n(n+ 1)(2n+ 1)

6 .

Jeudi 7 novembre : cours (3h)

Suite du chapitre 2 ^≪Logique, ensembles et applications^≫

• Principe du raisonnement par contraposition.

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• D´emonstration de la propri´et´e :

∀x∈R\ {1}, ∀y∈R\ {1}, x6=y ⇒ x+ 2

x−1 6=y+ 2 y−1.

• D´emonstration de la propri´et´e :

∀n∈N, n² est pair ⇒ nest pair.

• Principe du raisonnement par l’absurde.

• D´emonstration de l’irrationnalit´e de√ 2.

• Principe du raisonnement par analyse-synth`ese.

• D´emonstration de la propri´et´e : toute fonction f:R→Rs’´ecrit de mani`ere unique comme somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire.

• Notions d’ensemble et d’appartenance.

• Exemples d’ensembles construits en s´electionnant certains ´el´ements d’un ensemble donn´e.

Jeudi 7 novembre : TD (1h)

Devoir maison n˚2

• Correction de l’exercice 3.

Feuille de TD n˚5 ^≪Nombres complexes et trigonom´etrie (partie 2)^≫

• R´esolution de la question 1 de l’exercice 31.

Raisonnement par r´ecurrence

• Correction de la d´emonstration de la propri´et´e : pour toutn∈N^∗, Xn

k=1

k²=n(n+ 1)(2n+ 1)

6 .

Vendredi 8 novembre : cours (2h)

Suite du chapitre 2 ^≪Logique, ensembles et applications^≫

• Exemples d’ensembles d´ecrits par un param´etrage.

• D´efinition de l’ensemble vide.

• D´efinition de l’inclusion d’un ensemble dans un autre.

• D´efinition de l’´egalit´e de deux ensembles.

• D´efinition d’une partie d’un ensemble.

• Tout ensemble poss`ede deux parties naturelles : lui-mˆeme et∅.

• D´efinition de l’ensemble des parties d’un ensemble.

• D´efinition du compl´ementaire d’une partie d’un ensemble.

Vendredi 8 novembre : DS n˚2 (2h30)

Th`emes

• Calcul d’une ^≪grande^≫ puissance de nombre complexe.

• Equation trigonom´etrique´ ^≪du type^≫ acos(x) +bsin(x) =x, o`u (a, b, c)∈R³.

• Lin´earisation d’une expression trigonom´etrique.

• Sommes trigonom´etriques.

• Racines carr´ees d’un nombre complexe non nul.

• Solution(s) d’une ´equation du second degr´e `a coefficients complexes.

• Racinesn-i`emes de l’unit´e, o`un∈N_≥2.

• Racinesn-i`emes d’un nombre complexe non nul, o`un∈N_≥2.

• Exponentielle complexe.

• Calcul d’une somme avec Python, puis par r´ecurrence et enfin en remarquant un t´elescopage.

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