Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Cahier de texte
Semaine 22 (du 24 au 28 mars)
Lundi 24 mars : cours (2h)
Suite du chapitre 9 ≪Suites r´eelles≫
• Th´eor`eme de convergence par encadrement.
• Th´eor`eme de divergence vers +∞par minoration.
• Th´eor`eme de divergence vers−∞par majoration.
• Th´eor`eme de la limite monotone.
• D´efinition de deux suites adjacentes.
Lundi 24 mars : TD (2h)
Feuille de TD n˚16 ≪Suites r´eelles≫
• Correction des exercices 133, 134 138 et 141.
• D´ebut de la r´esolution de l’exercice 145.
Mardi 25 mars : cours (2h)
Suite et fin du chapitre 9 ≪Suites r´eelles≫
• Th´eor`eme des suites adjacentes.
D´ebut du chapitre 10 ≪Arithm´etique dans N≫
• D´efinitions d’un diviseur et d’un multiple d’un entier naturel.
• Lien entre diviseur et multiple.
• La relation de divisibilit´e surNest une relation d’ordre (i.e. est r´eflexive, antisym´etrique et transitive).
• Division euclidienne d’un entier naturel par un entier naturel non nul.
Devoirs
• Achever la r´esolution de l’exercice 145 et r´esoudre les exercices 142, 143 de la feuille de TD n˚16 ≪Suites r´eelles≫.
Jeudi 27 mars : cours (4h)
Suite du chapitre 10 ≪Arithm´etique dans N≫
• Crit`ere de divisibilit´e via la division euclidienne.
• D´efinition du PGCD et du PPCM de deux entiers naturels non nuls.
• D´efinition de deux nombres entiers naturels non nuls premiers entre eux.
• Propri´et´es du PGCD (sym´etrie, cas o`u le plus petit des deux nombres divise l’autre, cas o`u le plus petit des deux nombres ne divise pas l’autre).
• Algorithme d’Euclide pour la recherche du PGCD et≪remont´ee≫ pour obtenir une relation de B´ezout.
• Th´eor`eme de B´ezout.
• Lemme de Gauß.
• Si (a, b)∈(N∗)2, pr´esentation d’une m´ethode pour r´esoudre l’´equationax+by= PGCD(a, b) d’inconnue (x, y)∈Z2.
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Jeudi 27 mars : TD (1h)
Feuille de TD n˚16 ≪Suites r´eelles≫
• Correction de la fin de l’exercice 145.
• Correction des exercices 142 et 143.
Vendredi 28 mars : cours (1h45’) et interrogation de cours n˚16 (15’)
Suite du chapitre 10 ≪Arithm´etique dans N≫
• D´efinition d’un nombre premier.
• Toutn∈N≥2 admet un diviseur premier.
• Il existe une infinit´e de nombres premiers.
• Th´eor`eme fondamental de l’arithm´etique.
• D´efinition d’une famille (αp)p∈P de nombres entiers naturels indic´ee par l’ensemble P des nombres premiers.
• D´efinitions d’une famille (αp)p∈P de nombres entiers naturels indic´ee P qui est presque nulle et du support d’une telle.
• D´efinition de la notation Y
p∈P
pαp o`u (αp)p∈P est une famille presque nulle de nombres entiers naturels indic´eeP.
• Produit de Y
p∈P
pαp par Y
p∈P
pβp o`u (αp)p∈P et (βp)p∈P sont deux familles presque nulles de nombres entiers naturels indic´eesP.
• Reformulation du th´eor`eme fondamental de l’arithm´etique `a l’aide de la notation Y
p∈P
pαp.
• D´efinition de la valuationp-adique d’un entier naturel non nul (p∈ P).
• Crit`ere d’´egalit´e via les valuationsp-adiques.
• Application `a l’´etude de la rationnalit´e de la racine carr´ee d’un entier naturel.
• Crit`ere de divisibilit´e via les valuationsp-adiques.
Devoirs
• R´esoudre les exercices 147 et 148 de la feuille de TD n˚17 ≪Arithm´etique≫.
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