D1975 A partir d'une poussière 2ème partie.
On donne sur un cercle de centre O, 4 points fixes A,B,C,D,et sur la droite OD un point mobile P.
La perpendiculaire en P à la droite OD coupe les droites BC , CA , AB en respectivement A' , B' , C'.
BC recoupe le cercle (PAA') en A''. On construit de façon analogue B'' et C''.Les droites AA'', BB'', CC'' ont un point commun E.
Le point Q a été défini dans l'énoncé D1974 comme second point d’intersection des cercles (PAA'), (PBB'), (PCC').
1) Quel est le lieu du point E lorsque P décrit la droite OD ?
2) On complète la figure en traçant le cercle (PBC), il recoupe la perpendiculaire en P à la droite OD en un point a , puis ce cercle est recoupé par la droite aA en a'. On construit de façon analogue des points b,b', c,c'. Montrer que les cercles (PAa') , (PBb') , (PCc') se coupent en E.
3) Montrer que les droites aA , bB , cC ont un point commun appelé R et que les points P , Q , R sont alignés.
Q1) Notations : A(cos α,sin α), B(cos β,sin β ), C(cos γ,sin γ), P(p,0) Soit P'(1/p, 0). On va montrer que AA'' et AP' sont isogonales :
Les bissectrices de BÂC font avec OP l'angle [(OP,AB)+(OP,AC)]/2 =[(α+β)/2 + π/2 +(α+γ)/2 + π/2 ]/2
= α/2 +(β+γ)/4 modulo π/2 .
(OP,AA'') + (OP, AP') = (OP,AP) + (AP, AA'') + (OP,AP') ,
mais (AP, AA'') = (A'P,A'A'') = (A'P, BC) = (BC,OP) + π/2 = π/2 + (β+γ)/2 + π/2 = (β+γ)/2
et d'autre part les bissectrices de PÂP' sont AI et AJ où J et I sont les points (-1, 0) et (1, 0), elles ne dépendent pas de P et (OP,AP) + (OP,AP') = 2(OP,AI) = 2(π/2 + α/2) = α
(OP,AA'') + (OP, AP') = (A'P, BC) + 2(OP,AI) = (β+γ)/2 + α
Les bissectrices de A''ÂP' font donc avec OP l'angle α/2 +(β+γ)/4 modulo π/2 .
Les droites AA'' et AP' sont symétriques par rapport aux bissectrices de Â, et de même, BB'' et BP', CC'' et CP' sont symétriques par rapport aux bissectrices resp. des angles B et C. Cela suffit à prouver que les trois droites AA'', BB'' et CC'' sont concourantes en un point E isogonal de P', situé à distance finie ou à l'infini.
Quand P décrit la droite OD, P' décrit la même droite, dans l'isogonalité cette droite a pour image une conique.
(AP,AE) = (A'P, BC) , et (CP, CE) = (C'P, AB), on déduit (AP,AE)+(CE,CP)=(AB,C'P)+(A'P,BC) = (BA,BC) E est à l'infini ↔ (AE,CE) = 0 ↔ (PA,PC) = (BA,BC) ↔ P sur le cercle (ABC), en P1 ou P2.
Les directions asymptotiques sont AA''1 et AA''2.
(AA''1, AA''2)=( AA''1, BC) + (BC, AA''2)= ( P1A, P1A'1) + ( P2A'2, P2A) = ( P1A, P2A) = 90°
La conique est une hyperbole équilatère. ( voir aussi le 7.2 page 151 du livre géométrie de J.D.EIDEN )
Si P est tel que CC'' passe par A, E = AA''∩CC'' = A . Cette hyperbole passe donc par A, et de même par B et C. On peut la définir par 5 points : les deux points à l'infini et les 3 points A, B, C.
Q2) Affluence de cercles passant par P : on fait intervenir l'inversion I de pôle P qui conserve le cercle (ABC) et la perpendiculaire Δ en P à OP (privée de P). Posons I(A) = U, I(B) = V, I(C) = W.
Si on effectue à partir des points U, V, W les mêmes constructions qui dans D1974 conduisaient à 3 droites AA'', BB'', CC'' concourantes en E, on obtient 3 droites UU'', VV'', WW'' concourantes en I(E).
On en déduit que les cercles (P ,I(U),I(U'')), (P ,I(V),I(V'')), (P ,I(W),I(W'')) passent par E ou encore que les cercles (P , A, I(U'')), (P , B, I(V'')), (P , C, I(W'')) passent par E.
Il reste à vérifier que I(U'') =a' , I(V'') =b' , I(W'') =c' ,
U''= cercle(PUU') ∩ droite VW = cercle(P,U,(droite VW ∩ Δ)) ∩ droite VW
I(U'') = droite(A, (cercle(PBC)∩ Δ)) ∩ (cercle(PBC)) = droite Aa ∩ cercle(PBC) = a' CQFD.
Les cercles (PAa') , (PBb') , (PCc') se coupent en E.
Q3) Les trois cercles (PAA'), (PBB'), (PCC') ont pour axe radical PQ. Soit R l'intersection des droites aA et PQ.
On va montrer que le point a a même puissance par rapport aux cercles (ABC) et (PAA') , que aA est axe radical des ces deux cercles, et donc que R est le centre radical des cercles (PAA'), (PBB'), (PCC') et (ABC).
Soient y et Y les ordonnées des points a et A' . Coordonnées de P : (p,0). Rayon du cercle (ABC) = 1.
Puissance A' /cercle(BCPa) = A'a.A'P = (y-Y)(0 – Y) = Y² – yY
Puissance A' /cercle(ABC) = p²+Y² – 1 ; Y² – yY= p²+Y² – 1 ; yY = 1 – p² Puissance a /cercle(PAA') = Pa.A'a = y(y – Y)
Puissance a /cercle(ABC) = y²+p² – 1 = y² – yY donc Puissance a /cercle(PAA') = Puissance a /cercle(ABC) aA est axe radical des cercles (ABC) et (PAA').
De même bB et cC sont les axes radicaux des cercles (ABC) et (PBB') et des cercles (ABC) et (PCC').
R , intersection des droites aA et PQ, est donc le centre radical des cercles (ABC), (PAA'), (PBB'), (PCC') R est donc aussi sur l'axe radical bB des cercles (ABC) et (PBB'), ainsi que sur l'axe radical cC des cercles (ABC) et (PCC').
En conclusion les droites aA, bB, cC sont concourantes en un point R de la droite PQ.
