Métrique et qualité d'un simplexe

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Submitted on 11 Jan 2017

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Métrique et qualité d’un simplexe

Paul-Louis George, Houman Borouchaki

To cite this version:

Paul-Louis George, Houman Borouchaki. Métrique et qualité d’un simplexe. Comptes Rendus. Math- ématique, Académie des sciences (Paris), 2016, C.R. Acad. Sci. Paris, Ser. 1, 355, pp.105 - 112.

�10.1016/j.crma.2016.11.007�. �hal-01431689�

M´etrique et qualit´e d’un simplexe

Paul Louis George ^a , Houman Borouchaki ^b

a

INRIA, EPI Gamma3, Inria Saclay-Ile de France, Bat Turing, 1 rue Honor´ e d’Estienne d’Orves, Campus de l’ ´ Ecole Polytechnique, 91120 Palaiseau, France.

b

UTT et INRIA, ´ Equipe ICD-Gamma3, Universit´ e de Technologie de Troyes, BP 2060, 10010 Troyes Cedex, France.

Re¸ cu le ***** ; accept´ e apr` es r´ evision le +++++

Pr´ esent´ e par

R´ esum´ e

Ce papier introduit la notion de m´ etrique li´ ee ` a un ´ el´ ement g´ eom´ etrique simplicial (un simplexe). Cette m´ etrique est utilis´ ee dans la r´ esolution par la m´ ethode des ´ el´ ements finis d’´ equations aux d´ eriv´ ees partielles, ` a la fois pour la g´ en´ eration de maillages et les estimateurs d’erreur bas´ es sur l’erreur d’interpolation. En outre, cette m´ etrique renseigne sur la g´ eom´ etrie de l’´ el´ ement et, en particulier, sur sa qualit´ e en forme dans un espace euclidien quelconque.

Abstract

Element metric. This paper introduces the notion of a metric for a simplex. Such a metric is a key ingredient when solving a PDE system by means of a Finite Element Method. Both mesh generation methods and error estimates (as far as interpolation error is considered) are concerned. Moreover, this metric gives information about the geometry of the corresponding element, typically about its shape quality in any Euclidean space.

Abridged English version

The metric of a simplex of R ^d is a metric tensor (symmetric positive definite matrix) in which the element is unity (regular with unit edge lengths). This notion is related to the problem of interpolation error of a given field over a mesh. Let K be a simplex and let us denote by v _ij the vector joining vertex i and vertex j of K. The metric of K can be written as:

M = d + 1 2 ( X

i<j

v ij t v ij )

⁻¹

, where v _ij ^t v _ij is a d × d rank 1 matrix related to edge ij .

The metric of a simplex also characterizes the element shape. In particular, if it is the identity, the element is unity. Hence, to define the shape quality of an element, one can determine the gap of the element metric M and the identity using different measures based on the eigenvalues λ i = _h ¹

2

I

of M or those of M

⁻¹

, e.g. h ² _i . Notice that metric M

⁻¹

is directly related to the geometry of the element (edge length, facet area,

Email addresses: [email protected] (Paul Louis George), [email protected] (Houman Borouchaki).

element volume). The first algebraic shape quality measure ranging from 0 to 1 is defined as the ratio of the geometric average of the eigenvalues of M

⁻¹

and their arithmetic average:

q(K) = Y

i

h ² _i

!

_d¹

1 d

d

X

i=1

h ² _i

= d det(M

⁻¹

)

¹_d

tr(M

⁻¹

) .

As the geometric average is smaller than the arithmetic average, this measure is well defined. In addition, it is the algebraic reading of the well-known quality measure defined by:

q

^d2

(K) = (d!)d

^d2

(d + 1)

^d−12

|K|



 X

i<j

l ² _ij





d 2

,

where the volume and the square of the edge lengths are involved. The algebraic meaning justifies the above geometric measure. The second algebraic shape quality measure is defined as the ratio of the harmonic average of the eigenvalues of M

⁻¹

and their arithmetic average (ranging also from 0 to 1):

q(K) = ( 1

d

d

X

i=1

1 h ² _i

)

⁻¹

1 d

d

X

i=1

h ² _i

= d ²

tr(M)tr(M

⁻¹

) .

As above, this measure is well defined, the harmonic average being smaller the arithmetic one. From this measure, one can derive another well-known measure involving the roundness and the size of an element (measure which is widely used for convergene issues in finite element methods).

Note that these measures use the invariants of M

⁻¹

or M and thus can be evaluated from the coefficients of the characteristical polynomial of those matrices (avoiding the effective calculation of their eigenvalues).

Another advantage of the above algebraic shape measures is their easy extensions in an arbitrary Euclidean space. Indeed, if E is the metric of such a space, the algebraic shape measures read:

q

_E

(K) = d det(M

⁻¹

E)

_d¹

tr(M

⁻¹

E) , q

_E

(K) = d ²

tr(E

⁻¹

M)tr(M

⁻¹

E ) .

1. Introduction

La m´ etrique d’un ´ el´ ement est une m´ etrique dans laquelle l’´ el´ ement est r´ egulier avec des arˆ etes de longueur unit´ e (on trouve une formulation similaire dans [1]). Cette notion est li´ ee en particulier aux probl` emes de g´ en´ eration de maillages unit´ e ([2], [3], [4], etc.) et d’erreur d’interpolation d’un champ donn´ e ([5], [6], [7], etc.).

Dans cette note, on va d´ evelopper le formalisme sous-jacent dans le cadre d’un ´ el´ ement g´ eom´ etrique simplicial (triangle, t´ etra` edre, simplexe de dimension quelconque) et d´ ecrire quelques propri´ et´ es li´ ees. Ensuite, on va g´ en´ eraliser la notion de m´ etrique d’un ´ el´ ement au cas des ´ el´ ements simpliciaux de degr´ e quelconque. Enfin, on introduit deux mesures de qualit´ e alg´ ebrique d’un simplexe donn´ e en se basant sur sa m´ etrique dans un espace euclidien arbitraire. En outre, on va montrer que ces mesures de qualit´ e alg´ ebrique repr´ esentent des r´ e´ ecritures matricielles des mesures g´ eom´ etriques classiques utilis´ ees en particulier dans les questions de convergence des ´ el´ ements finis, [8], et d’optimisation de maillage, [9], [10], [11], etc.

2

2. M´ etrique d’un simplexe

Un simplexe de dimension d et de forme quelconque ´ etant donn´ e, on va montrer qu’il existe une seule m´ etrique dans laquelle il est ´ equilat´ eral (ou r´ egulier) et de taille unit´ e (c’est-` a-dire avec ses arˆ etes de longueur 1). Si M est une telle m´ etrique, elle doit v´ erifier le syst` eme lin´ eaire traduisant le fait que les arˆ etes de l’´ el´ ement correspondant sont de longueur 1. D´ esignons par v _ij le vecteur joignant le sommet i au sommet j de l’´ el´ ement. Le syst` eme lin´ eaire d’ordre d(d + 1)

2 (nombre d’arˆ etes) en les coefficients de la m´ etrique cherch´ ee, est d´ efini comme :

n t v ij Mv ij = 1 avec i < j .

Plutˆ ot que de r´ esoudre explicitement ce syst` eme, [7], on va, en premier, rappeler quelques propri´ et´ es relatives aux arˆ etes d’un ´ el´ ement puis en d´ eduire une expression explicite de M.

Par d´ efinition, ||v ij ||

M

= 1. Ensuite, on montre que hv ij , v _ik i

M

= ¹ ₂ , en effet :

hv jk , v jk i

_M

= hv ji + v ik , v ji + v ik i

_M

= hv ji , v ji i

_M

+ 2hv ji , v ik i

_M

+ hv ik , v ik i

_M

donc 2hv ji , v ik i

M

= −1, soit hv ij , v ik i

M

= ¹ ₂ , r´ esultat ´ etabli donc pour toutes les paires d’arˆ etes incidentes.

Enfin, si d > 2, on a aussi hv ij , v kl i

M

= 0 pour tous les couples d’indices de ce type (ceux des arˆ etes oppos´ ees).

La d´ emonstration se fait comme ci-dessus, on part de ||v kl ||

M

= 1 et on ouvre v kl en v kl = v ki + v ij + v jl , alors, on a :

hv kl , v kl i

_M

= hv ki , v ki i

_M

+ hv ij , v ij i

_M

+ hv jl , v jl i

_M

+ 2hv ki , v ij i

_M

+ 2hv ki , v jl i

_M

+ 2hv ij , v jl i

_M

, soit 1 = 3 + 2(− ¹ ₂ ) + 2hv ki , v jl i

_M

+ 2(− ¹ ₂ ), donc 2hv ki , v jl i

_M

= 0, soit le r´ esultat pour toutes les paires d’arˆ etes oppos´ ees.

On introduit, a priori, la matrice N = X

i<j

v ij t v ij qui est une somme de d(d + 1)

2 matrices de rang un.

Cette matrice est d´ efinie positive. En effet, soit u un vecteur quelconque, on a :

t uN u = X

i<j

t u v ij t v ij u = X

i<j

|| ^t v ij u|| ² ≥ 0.

Cette somme est nulle si et seulement si, pour tout i < j, ^t v ij u = 0, autrement dit, u doit ˆ etre orthogonal

`

a toutes les arˆ etes. Comme les vecteurs arˆ etes engendrent l’espace de dimension d, cela implique que u = 0.

Donc la matrice N est inversible.

On va montrer maintenant que la matrice N M est une homoth´ etie. Pour ce faire, on va calculer N Mv _kl pour les d(d + 1)

2 arˆ etes v kl (avec k < l) de l’´ el´ ement. Soit :





 X

i<j

v ij t v ij







Mv kl = X

i<j

v ij t v ij Mv kl .

Dans cette somme, les seuls termes non nuls sont ceux pour lesquels i = k ou i = l ou j = k ou j = l, donc : v kl

_t

v kl Mv kl + X

j>k,j6=l

v kj

_t

v kj Mv kl + X

j>l

v lj

_t

v lj Mv kl + X

i<k

v ik

_t

v ik Mv kl + X

i<l,i6=k

v il

_t

v il Mv kl ,

soit :

v kl + 1 2

X

j>k,j6=l

v kj − 1 2

X

j>l

v lj − 1 2

X

i<k

v ik + 1 2

X

i<l,i6=k

v il ,

qui s’´ ecrit ´ egalement comme : v kl + 1

2

l−1

X

j=k+1

v kj + 1 2

d+1

X

j=l+1

v kj − 1 2

d+1

X

j=l+1

v lj − 1 2

k−1

X

i=1

v ik + 1 2

k−1

X

i=1

v il + 1 2

l−1

X

i=k+1

v il ,

qui se regroupe en : v _kl + 1

2

l−1

X

j=k+1

v _kl + 1 2

d+1

X

j=l+1

v _kl + 1 2

k−1

X

i=1

v _kl = v _kl + 1 2

d+1

X

j=1,j6=k,j6=l

v _kl = d + 1 2 v _kl . On en d´ eduit que N M = ^d+1 ₂ I et, ainsi :

M = d + 1 2 ( X

i<j

v ij t v ij )

⁻¹

. (1)

Remarquons qu’il existe une infinit´ e de m´ etriques dans lesquelles un ´ el´ ement quelconque est r´ egulier. Ces m´ etriques sont proportionnelles ` a celle d´ efinie ci-dessus qui, quant ` a elle, avec la contrainte unit´ e, est unique.

Inversement, ´ etant donn´ e une m´ etrique M dans R ² ou R ³ , il existe une infinit´ e d’´ el´ ements r´ eguliers dans cette m´ etrique (M est la m´ etrique de tous ces ´ el´ ements).

2.1. Triangles associ´ es ` a une m´ etrique M

Consid´ erons un triangle [OM P] dans R ² tel que || −−→

OM ||

_M

= 1, il existe un seul point P de la boule unit´ e de centre O (|| − − →

OP ||

M

= 1) tel que || −−→

P M ||

M

= 1 ou, en d’autres termes, M est la m´ etrique de [OM P ]. En faisant varier M sur la boule unit´ e (l’ellipse) de centre O, on a tous les ´ el´ ements de m´ etrique M. Parmi ces

´

el´ ements, on en trouve quatre dont l’arˆ ete [OM ] est dans l’une des deux directions propres (ou principales) de la m´ etrique. Ces ´ el´ ements particuliers sont isoc` eles dans la m´ etrique usuelle et on dit qu’ils sont align´ es avec la m´ etrique.

Notons que tous les triangles de m´ etrique M ont la mˆ eme aire. En effet, si K d´ esigne un ´ el´ ement, on a

|K|

_M

= p

det(M)|K|, donc, comme par d´ efinition |K|

_M

=

√

3

4 , une constante, on a |K| = √

^|K|M

det(M) qui, ainsi, est une constante. De mˆ eme la somme des carr´ es des longueurs des arˆ etes (v ij ) est une constante. On part de la Relation (1) avec d = 2, soit

M = 3 2 ( X

i<j

v ij t v ij )

⁻¹

donc X

i<j

v ij t v ij = 3 2 M

⁻¹

. La trace de la matrice X

i<j

v ij t v ij est la somme des carr´ es des longueurs des arˆ etes de K, ou encore :

X

i<j

l ² _ij = X

i<j

t v ij v ij = 3

2 tr(M

⁻¹

) = 3 2

tr(M)

det(M) , (2)

o` u l ij est la longueur de l’arˆ ete v ij .

2.2. T´ etra` edres associ´ es ` a une m´ etrique M

Consid´ erons un t´ etra` edre [OM P Q], tel que || −−→

OM ||

_M

= 1, il existe une infinit´ e de points P de la boule unit´ e de centre O (|| − − →

OP ||

M

= 1) tel que || −−→

P M ||

M

= 1. De mˆ eme, pour un P fix´ e, il existe un seul point Q tel que || − − →

OQ||

_M

= || −−→

M Q||

_M

= || − − →

P Q||

_M

= 1 ou, en d’autres termes, M est la m´ etrique de [OM P Q].

En faisant varier M et P sur la boule unit´ e de centre O, on a tous les ´ el´ ements de m´ etrique M. Parmi ces

´

el´ ements, on en trouve six dont l’arˆ ete [OM ] est dans l’une des trois directions propres de la m´ etrique tandis que la face [OM P] est port´ ee par un plan principal.

Les t´ etra` edres de m´ etrique M ont le mˆ eme volume et la mˆ eme somme des carr´ es des longueurs des arˆ etes.

En effet, ces quantit´ es, comme dans le cas du triangle, s’´ ecrivent en fonction des invariants de M ou M

⁻¹

.

4

3. Qualit´ e en forme et m´ etrique d’´ el´ ement

Dans cette section, on va d´ efinir plusieurs expressions de la qualit´ e en forme d’un simplexe ` a partir de sa m´ etrique. Ces d´ efinitions ´ etant de nature alg´ ebrique (` a partir de la matrice associ´ ee ` a une m´ etrique), on va aussi montrer leurs r´ e´ ecritures avec une interpr´ etation g´ eom´ etrique et trouver ainsi une nouvelle mesure tout en retrouvant (et justifiant) deux des mesures classiques de qualit´ e utilis´ ees couramment pour l’optimisation des maillages.

On consid` ere les deux invariants (le d´ eterminant et la trace) li´ es ` a la matrice M

⁻¹

o` u M d´ esigne la m´ etrique d’un simplexe K et on va les exprimer en fonction de la g´ eom´ etrie de K. On va alors d´ efinir la qualit´ e en forme de K ` a partir de ces invariants.

En premier, on a :

|K|

M

= p

det(M)|K|,

o` u |K|

M

repr´ esentant le volume de K dans la m´ etrique M est le volume d’un ´ el´ ement r´ egulier unitaire (d’arˆ etes de longueur 1) d´ efini par |K|

M

= ^(d+1)

1 2

2

^d2

d! . On en d´ eduit que :

|K| = (d + 1)

¹²

2

^d2

d! det(M

⁻¹

)

¹₂

ou det(M

⁻¹

) = 2 ^d (d!) ² d + 1 |K| ² .

Dans cette expression, det(M

⁻¹

) est un invariant repr´ esentant le produit des valeurs propres de M

⁻¹

. Si on d´ esigne les valeurs propres de M par λ i , alors les valeurs propres de M

⁻¹

sont les h ² _i o` u h i =

^√

¹ _λ

i

est la taille prescrite par la m´ etrique M. La relation ci-dessus s’´ ecrit ´ egalement :

Y

i

h ² _i

!

¹_d

= 2(d!)

^2d

(d + 1)

^1d

|K|

^2d

,

donnant l’expression de la moyenne g´ eom´ etrique des h ² _i en fonction du volume de K.

En second, si l _ij d´ esigne la longueur de l’arˆ ete ij de K, on a : X

i<j

l ² _ij = d + 1

2 tr(M

⁻¹

) ou encore tr(M

⁻¹

) = 2 d + 1

X

i<j

l ² _ij ,

qui s’´ ecrit comme : X

i

h ² _i = 2 d + 1

X

i<j

l ² _ij donc, en moyenne, on a 1 d

X

i

h ² _i = 2 d(d + 1)

X

i<j

l ² _ij ,

donnant ainsi l’expression de la moyenne arithm´ etique des h ² _i en fonction de la longueur des arˆ etes de K.

On d´ efinit la qualit´ e en forme de K dans la m´ etrique usuelle comme le quotient de la moyenne g´ eom´ etrique et de la moyenne arithm´ etique des h ² _i , soit :

q(K) = Y

i

h ² _i

!

¹_d

1 d

d

X

i=1

h ² _i

= d det(M

⁻¹

)

¹_d

tr(M

⁻¹

) . (3)

Cette mesure de qualit´ e d´ epend des deux invariants, trace et d´ eterminant de M

⁻¹

et donc peut s’exprimer en fonction des coefficients du polynˆ ome caract´ eristique de M

⁻¹

, ´ evitant ainsi le calcul de ses valeurs propres.

Par d´ efinition, ce crit` ere de qualit´ e est adimensionn´ e. Comme la moyenne g´ eom´ etrique est plus petite que la moyenne arithm´ etique, 0 ≤ q(K) ≤ 1. L’´ egalit´ e de ces deux moyennes est obtenue si tous les h i sont

´

egaux, ce qui veut dire que K est r´ egulier. Par ailleurs, ce crit` ere permet de quantifier l’irr´ egularit´ e de K

via son anisotropie. Comme les deux moyennes d´ ependent de la g´ eom´ etrie de K, on va r´ eexprimer ce crit` ere de qualit´ e en fonction de cette g´ eom´ etrie (ici les arˆ etes et le volume de K). On a donc :

q(K) = (d!)

^2d

d(d + 1)

^d−1d

|K|

^d2

X

i<j

l ² _ij ,

crit` ere qui s’´ ecrit comme le quotient d’une puissance du volume et la somme des carr´ es de la longueur des arˆ etes. Pour ´ eviter le calcul d’une puissance fractionnelle (surtout en petite dimension, d = 2 ou 3), on consid` ere comme crit` ere de qualit´ e la puissance <sup>d</sup> <sub>2</sub> de q, c’est-` a-dire :

q

^d2

(K) = d

^d2

det(M

⁻¹

¹₂

(tr(M

⁻¹

))

^d2

= (d!)d

^d2

(d + 1)

^d−12

|K|



 X

i<j

l ² _ij





d 2

.

Ainsi pour d = 2 et 3, on obtient : q(K) = 4 √

3 |K|

l ² ₁₂ + l ₁₃ ² + l ² ₂₃ et q(K) ≡ q

³²

(K) = 72 √

3 |K|

(l ² ₁₂ + l ₁₃ ² + l ² ₁₄ + l ² ₂₃ + l ₂₄ ² + l ² ₃₄ )

³²

,

qui sont des crit` eres classiques de qualit´ e que l’on trouve dans la litt´ erature.

Nous allons introduire une nouvelle mesure de qualit´ e dans le cas d’un t´ etra` edre (d = 3, le cas du triangle

´

etant trivial) et en d´ eduire la mesure de qualit´ e d´ efinie par le quotient de la rondeur et de la taille d’´ el´ ement, mesure utilis´ ee ` a la fois dans les th´ eor` emes de convergence de la m´ ethode des ´ el´ ements finis et ` a des fins d’optimisation de maillages.

On consid` ere le troisi` eme invariant de la matrice M

⁻¹

= _d+1 ² N , de valeurs propres h ² _i , ` a savoir X

i<j

h ² _i h ² _j . On d´ efinit maintenant une nouvelle mesure de la qualit´ e en forme de K dans la m´ etrique usuelle comme le quotient de la moyenne harmonique et de la moyenne arithm´ etique des h ² _i , soit :

q(K) = ( 1

d

d

X

i=1

1 h ² _i

)

⁻¹

1 d

d

X

i=1

h ² _i

= d ²

tr(M)tr(M

⁻¹

) . (4)

Remarquons que cette qualit´ e fait intervenir trois invariants (incluant la trace et le d´ eterminant) de la matrice M

⁻¹

:

q(K) = d ²

Q d i=1 h ² _i

d

X

i=1

h ² _i

d

X

i=1



 Y

j,j6=i

h ² _j



 .

Ainsi, elle peut s’exprimer en fonction des coefficients du polynˆ ome caract´ eristique de M

⁻¹

, ´ evitant aussi le calcul de ses valeurs propres. Dans la suite, on va donner l’expression de cette mesure en fonction de la g´ eom´ etrie de l’´ el´ ement dans les cas d = 2 et d = 3.

En deux dimensions, q(K) = 4 h ² ₁ h ² ₂

(h ² ₁ + h ² ₂ ) ² . Cette mesure repr´ esente le carr´ e de la mesure impliquant la moyenne g´ eom´ etrique (comme vue plus haut) et, par suite, n’est pas plus informative. Cependant, en utilisant cette mesure ou la mesure pr´ ec´ edente, et via une majoration du d´ enominateur, on peut retrouver

6

une mesure classique de qualit´ e, celle qui implique la rondeur et la taille. Cette mesure s’´ ecrit, en fonction de la g´ eom´ etrie de l’´ el´ ement, comme :

q(K) = 12



 



 

 2|K|

X

i

l ² _i



 



 



2

.

On consid` ere la majoration du d´ enominateur par l max ( X

i

l i ) o` u l max = max i l i puis on prend la racine carr´ ee de l’ensemble et on obtient la mesure non normalis´ ee (` a cause de la majoration du d´ enominateur) :

4 √

3 2|K|

l max

X

i

l i

= 4 √ 3 ρ(K)

l max

,

o` u ρ(K) = 2 X

^|K|

i

l i

est le rayon du cercle inscrit. Le coefficient de normalisation ` a 1 est fix´ e ` a partir de la

mesure de la qualit´ e du triangle ´ equilat´ eral unit´ e et, au final, on trouve q(K) = 2 √ 3 ρ(K)

l max

.

En trois dimensions, q(K) = 9 Q

i h ² _i X

i

h ² _i X

i<j

h ² _i h ² _j

. On note S i le vecteur dirig´ e suivant la normale orient´ ee

de la face i de l’´ el´ ement K (par exemple vers l’int´ erieur), dont la norme est le double de l’aire de cette face.

En analysant le polynˆ ome caract´ eristique de M

⁻¹

, on peut montrer que l’invariant : X

i<j

h ² _i h ² _j = 9 8

X

i

||S i || ² − 1 4

X

i<j

hS i , S j i.

Par ailleurs, Y

i

h ² _i = det(M

⁻¹

) = 72|K| ² et X

i

h ² _i = tr(M

⁻¹

) = 1 2

X

i

l ² _i . On en d´ eduit que la qualit´ e s’´ ecrit en fonction de la g´ eom´ etrie de l’´ el´ ement (arˆ etes, faces et volume) comme :

q(K) = 72 ² |K| ² X

i

l ² _i





 9 2

X

i

||S i || ² − X

i<j

hS i , S _j i





 .

Contrairement au cas d = 2, cette relation est une nouvelle mesure qui ne peut s’exprimer en fonction de la mesure impliquant la moyenne g´ eom´ etrique ¹ .

A partir de cette formule, on va retrouver la mesure classique de la qualit´ ` e faisant intervenir la taille et la rondeur de l’´ el´ ement (donc, ici, son diam` etre et le rayon de sa sph` ere inscrite) en majorant les deux termes du d´ enominateur ² . En premier, comme 2|hS i , S j i| ≤ ||S i || ² + ||S j || ² , on a :

9 2

X

i

||S _i || ² − X

i<j

hS _i , S _j i ≤ 6 X

i

||S _i || ² ≤ 6 X

i

||S _i ||

! 2

.

Ensuite, X

i

l _i ² ≤ 6 l _max ² , o` u l _max = max

i l _i est le diam` etre de K. En consid´ erant ces deux majorations, on obtient l’expression :

1

Cela ´ etait pr´ evisible car, en deux dimensions, il n’y a que deux invariants pour la matrice alors qu’en trois dimensions, il y en a trois.

2

en observant que ceci garantit que le num´ erateur reste inf´ erieur au d´ enominateur.

4 ²



 



 



3|K|

l max

X

i

||S i ||



 



 



2

,

et en consid´ erant sa racine carr´ ee, on obtient une mesure de qualit´ e non normalis´ ee (` a cause des majorations) : q(K) = 4 3|K|

l _max X

i

||S i ||

= 4 ρ(K) l max

, (5)

o` u ρ(K) = 3 X

^|K|

i

||S i || est le rayon de la sph` ere inscrite. Le coefficient de normalisation ` a 1 est fix´ e ` a partir de la mesure de la qualit´ e du t´ etra` edre regulier unit´ e et, au final, on trouve q(K) = 2 √

6 ρ(K) l max

.

Notons que, comme la moyenne harmonique est plus petite que la moyenne g´ eom´ etrique, la deuxi´ eme mesure de qualit´ e est plus discriminante que la premi` ere. Par cons´ equent, la mesure classique, fonction de la taille et de la rondeur, est a fortiori, encore plus discriminante compar´ ee aux autres.

Les mesures de qualit´ e introduites plus haut permettent de quantifier la qualit´ e en forme d’un ´ el´ ement dans l’espace muni de la m´ etrique usuelle ` a partir de la m´ etrique de cet ´ el´ ement mˆ eme, m´ etrique qui le caract´ erise g´ eom´ etriquement. Si l’espace est maintenant muni de la m´ etrique de l’´ el´ ement, alors, par exemple, si on regarde la Relation (3), chaque h i vaut 1 et on trouve q

_M

(K) = 1 o` u l’indice de q pr´ ecise la m´ etrique de l’espace. Cette ´ egalit´ e refl` ete aussi le fait que M est la m´ etrique de l’´ el´ ement.

On suppose maintenant que l’espace est muni d’une m´ etrique, E . Si on d´ efait l’espace avec la m´ etrique M de l’´ el´ ement, K devient r´ egulier dans la m´ etrique usuelle (c’est-` a-dire I ). Si on d´ efait ` a nouveau l’espace avec la m´ etrique E

⁻¹

, on trouve l’´ el´ ement dans l’espace muni de E. On g´ en´ eralise ainsi les deux mesures alg´ ebriques de qualit´ e dans l’espace muni d’une m´ etrique E. Pour la mesure de la Relation (3), il vient :

q

_E

(K) = d det((E

⁻¹

M)

⁻¹

)

¹_d

tr((E

⁻¹

M)

⁻¹

) = d det(M

⁻¹

E )

¹_d

tr(M

⁻¹

E ) , ou encore, en fonction de la g´ eom´ etrie de l’´ el´ ement :

q

_E^d2

(K) = d

^d2

det(M

⁻¹

E)

¹₂

(tr(M

⁻¹

E))

^d2

= (d!)d

^d2

(d + 1)

^d−12

|K|

_E



 X

i<j

(l ij ) ²

_E





d 2

,

car |K|

_E

= (det(E ))

¹²

|K| et, comme il est facile de voir, tr(M

⁻¹

E ) = tr(EM

⁻¹

) donc repr´ esente la somme des carr´ es de la longueur des arˆ etes dans la m´ etrique E, soit :

X

i<j

t v ij E v ij = tr(E X

i<j

v ij t v ij ).

Pour la mesure de la Relation (4), il vient :

q

_E

(K) = d ²

tr(E

⁻¹

M)tr((E

⁻¹

M)

⁻¹

) = d ²

tr(E

⁻¹

M)tr(M

⁻¹

E) .

On peut aussi consid´ erer une troisi` eme mesure d´ efinie par le quotient de la moyenne harmonique et la moyenne g´ eom´ etrique. Cependant, cette mesure est moins sensible que les pr´ ec´ edentes. Par ailleurs, en consid´ erant les termes h i (au lieu de h ² _i ), on obtient d’autres mesures alg´ ebriques de qualit´ e :

8

q(K) = Y

i

h _i

!

¹_d

1 d

d

X

i=1

h i

= d

det(M

⁻¹²

)

¹_d

tr(M

⁻¹²

) et q(K) = ( 1

d

d

X

i=1

1 h i

)

⁻¹

1 d

d

X

i=1

h i

= d ²

tr(M

¹²

)tr(M

⁻¹²

) ,

qui permettent aussi de quantifier l’irr´ egularit´ e de l’´ el´ ement dans la m´ etrique usuelle. Toutefois, ces mesures sont plus coˆ uteuses ` a ´ evaluer.

Les mesures alg´ ebriques de qualit´ e bas´ ees sur la m´ etrique de l’´ el´ ement montre une premi` ere utilisation de cette notion et une autre mani` ere d’exprimer la qualit´ e en forme d’un ´ el´ ement. Cette notion est ´ egalement ` a la base de la construction d’estimateurs d’erreur bas´ es sur l’erreur d’interpolation et fera l’objet d’une suite naturelle de ce travail.

R´ ef´ erences

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[3] J. Peraire, M. Vahdati, K. Morgan and O.C. Zienkiewicz, Adaptive remeshing for compressible flow computations, Jour. of Comput. Phys., 72, 449-466, 1987.

[4] H. Borouchaki, P.L. George, F. Hecht, P. Laug and E. Saltel, Delaunay mesh generation governed by metric specifications. Part I : Algorithms, Finite Elements in Analysis and Design, 25(1/2), 61-83, 1997.

[5] M. Berzins, A Solution-Based Triangular and Tetrahedral Mesh Quality Indicator, SIAM Journal on Scientific Computing 19(6) :2051-2060, 1998.

[6] H. Borouchaki, D. Chapelle, P.L. George, P. Laug et P. Frey, Estimateur d’erreur g´ eom´ etrique et adaptation, in Maillage et adaptation, Trait´ e M´ ecanique et Ing´ enierie des Mat´ eriaux, Herm` es-Lavoisier, in french. Paris, 2001.

[7] A. Loseille , Adaptation de maillage anisotrope 3D multi-´ echelles et cibl´ ee ` a une fonctionnelle pour la m´ ecanique des fluides. Application ` a la pr´ ediction haute-fid´ elit´ e du bang sonique. Th` ese, Universit´ e Pierre et Marie Curie, Paris, 2008.

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[11] P. Labb´ e, J. Dompierre, F. Guibault et R. Camarero, Crit` ere de qualit´ e, in Maillage et adaptation, Trait´ e M´ ecanique

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