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Soit X une variable al´eatoire `a valeurs dans N∗ et ε une variable al´eatoire de loi de Bernoulli de param`etre p avec 0&lt

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Academic year: 2022

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DISVE Pˆole Licence

ANNEE UNIVERSITAIRE 2015/2016 SESSION 1 DE PRINTEMPS PARCOURS: L3 Math´ematiques fondamentales

et L3 Ing´enierie Math´ematique CODE UE: M1MA6M11

Epreuve : Probabilit´es

Date : 28/04/2016 Heure : 14h-17h Dur´ee : 3h Responsable de l’´epreuve: M. Bonnefont

Documents: Non autoris´es. La calculette homologu´ee par l’Universit´e est le seul mat´eriel ´electronique autoris´e.

Exercice 1. Soit X une variable al´eatoire `a valeurs dans N et ε une variable al´eatoire de loi de Bernoulli de param`etre p avec 0< p <1 ind´ependante de X. On note q= 1−p.

On pose Y =ε+ (1−ε)(1 +X).

1) Soit k∈N, calculerP(Y =k). On pourra s´eparer les cask= 1 etk≥2.

2) On suppose que X est int´egrable. Justifier que Y est int´egrable puis calculerE[Y] en fonction de p, q etE[X].

3) On suppose maintenant queY a mˆeme loi queX. Montrer qu’alors X suit n´ecessairement une loi g´eom´etrique dont on pr´ecisera le param`etre.

4) En d´eduire l’esp´erance de la loi g´eom´etrique de param`etrep avec 0< p <1.

Exercice 2. Partie ALa loi triangulaire est beaucoup utilis´ee en traitement du son ou de l’image.

On dit queX suit la loi triangulaireT(a) aveca >0 si sa densit´e est donn´ee par, fX(x) = 1

a2(a− |x|)1[−a,a](x)

1) V´erifier que fX est bien une densit´e de probabilit´e et repr´esenter cette densit´e.

2) Calculer son esp´erance et sa variance.

3) Calculer P(2|X| ≥a).

4) Calculer la loi de la variable al´eatoireY = 1ap

|X|. On donnera notamment sa densit´e.

Partie B Soient X etY deux variables al´eatoires de loi uniforme sur [−1,1] ind´ependantes.

Soient a >0 et b >0 deux r´eels positifs. On pose U =a

X+Y 2

etV =b

X−Y 2

.

1) Soient D le carr´e [−1,1]2 et ∆ = {(x, y) ∈ R2,|x|a +|y|b ≤ 1} le losange de base [−a, a] et de hauteur [−b, b].

On admet que l’application φ:R2 →R2 d´efinie par φ(x, y) =

a

x+y 2

, b

x−y 2

r´ealise une bijection de Dsur ∆. Montrer queφ est en fait unC1- diff´eomorphisme deDsur ∆.

2) Montrer que le couple (U, V) admet une densit´e et donner cette densit´e.

3) Montrer que U suit la loi T(a) et queV suit la loi T(b).

4) Les variables al´eatoires U etV sont elles ind´ependantes.

Exercice 3.

Soit (Xn)n≥2 une suite de variables al´eatoires ind´ependantes. On suppose que la loi de Xn est donn´ee par

P(Xn=n) = 2n1lnn P(Xn= 0) = 1−nln1n P(Xn=−n) = 2nln1 n

1

(2)

On poseYn= 1nPn i=2Xi.

1) Calculer E[Xi], pouri≥2.

2) Montrer que Yn converge dansL2 et en probabilit´e vers 0.

3) Montrer que Xnn ne converge pas presque sˆurement vers 0.

4) En notant que Xnn =Ynn−1n Yn−1, montrer que Yn ne converge pas presque sˆurement vers 0.

Exercice 4.

1) Soit X une variable al´eatoire r´eelle. Montrer que sa fonction caract´eristique v´erifie φX(−t) =φX(t), t∈R.

2) Soit U de loi uniforme sur [0,1], calculer la fonction carat´eristique de U.

3) Montrer qu’il n’existe pas de variables al´eatoires X et Y ind´ependantes et de mˆeme loi telles queX−Y suit la loi uniforme sur [0,1]?

Exercice 5. Soit µ etν deux mesures de probabilit´es sur Rqui admettent un moment d’ordre 2.

On d´efinit la distance de Wasserstein (au carr´e) entreµ etν par W(µ, ν)2= infE[|X−Y|2]

o`u l’infimum est pris sur tous les vecteurs al´eatoires (X, Y) ayant µetν pour lois marginales.

On note m1 etσ12 la moyenne et la variance deµetm2 etσ22 la moyenne et la variance deν.

1) Soient (X, Y) un vecteur al´eatoire de lois marginales µetν. Soit ˜X=X−m1 et ˜Y =Y −m2. Montrer que

E[|X−Y|2] = (m1−m2)2+E[|X˜ −Y˜|2] 2) Montrer que

E[|X˜−Y˜|2] =σ1222−2C avec C=Cov( ˜X,Y˜).

3) Justifier que

|Cov( ˜X,Y˜)| ≤σ1σ2. 4) En d´eduire que

W(µ, ν)2 ≥(m1−m2)2+ (σ1−σ2)2. 5) Donner une condition suffisante sur µet ν pour que

W(µ, ν)2 = (m1−m2)2+ (σ1−σ2)2. Indication: On pourra s’int´eresser au cas d’´egalit´e de la question 3).

6) Que vaut donc W(µ, ν)2 lorsqueµetν sont toutes les deux des lois normales?

Exercice 6. Soit (X, Y, Z) un vecteur al´eatoire gaussien de R3, de loiN(0,Γ) o`u la matrice Γ est donn´ee par

Γ =

2 1 1 1 2 1 1 1 2

.

On pose

U =−X+Y +Z, V =X−Y +Z, W =X+Y −Z.

1) D´eterminer la loi du vecteur al´eatoire (U, V, W).

2) En d´eduire la loi de la variable al´eatoire

T = (U +V +W)2

12 .

2

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