an 09. p 54. Liban. juin 2008.
Partie A. démonstration de cours.
Prérequis : définition d’une suite tendant vers plus l’infini.
« une suite tend vers +∞ si, pour tout réel A, tous les termes de la suite sont, à partir d’un certain rang, supérieurs à A ».
Démontrer le théorème suivant : une suite croissante non majorée tend vers +∞. Partie B.
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : f(x) = ln(x + 1) + 1 2 x².
La courbe Cf représentative de la fonction f dans un repère orthogonal est donnée ci−dessous. Cette courbe sera complétée et remise avec la copie.
1. Etudier le sens de variation de la fonction f sur [0 ; +∞[.
2. déterminer une équation de la tangente (T) à Cf au point d’abscisse 0.
3. Tracer la droite (T) sur le graphique.
4. Montrer que sur l’intervalle ]0 ; +∞[, f(x) > x. Que peut−on en déduire graphiquement ?
Partie C.
On considère la suite (un) définie sur IN par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n, un+1 = f(un).
1. Construire sur l’axe des abscisses les cinq premiers termes de la suite (un) en laissant apparents les traits de construction (utiliser le graphique donné).
2. A partir de ce graphique, que peut−on conjecturer concernant le sens de variation de la suite (un) et son comportement lorsque n tend vers +∞.
3. a. Monter à l’aide d’un raisonnement par récurrence que, pout tout entier naturel n, un≥ 1.
b. Montrer que la suite (un) est croissante.
c. En raisonnant par l’absurde, montrer que la suite (un) n’est pas majorée.
d. En déduire la limite de la suite (un).
2 3 4 5 6
2 3 4 5 6
0 1
1
x y
Partie A. démonstration de cours.
Prérequis : définition d’une suite tendant vers plus l’infini.
« une suite tend vers +∞ si, pour tout réel A, tous les termes de la suite sont, à partir d’un certain rang, supérieurs à A » c'est-à-dire limn→+∞ un = +∞ si ∀ A ∈ IR, ∃ p ∈ IN tel que : pour n ≥ p, un > A.
Démontrer le théorème suivant : une suite croissante non majorée tend vers +∞∞∞∞. (un) est majorée ⇔ il existe un réel M plus grand que tous les termes de la suite
c'est à dire : (un) est majorée ⇔∃ M ∈ IR tel que ∀ n ∈ IN, un≤ M
donc (un) n’est pas majorée signifie que : ∀ M ∈ IR, ∃ p ∈ IN tel que up > M la suite étant croissante, pour n ≥ p, un ≥ up et donc un > M
on a alors ∀ M ∈ IR, ∃ p ∈ IN tel que : pour n ≥ p, un > M ce qui prouve que limn→+∞ un = +∞. Partie B.
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +∞∞∞∞[ par : f(x) = ln(x + 1) + 1 2 x².
La courbe CCCCf représentative de la fonction f dans un repère orthogonal est donnée ci−dessous. Cette courbe sera complétée et remise avec la copie.
1. Etudier le sens de variation de la fonction f sur [0 ; +∞∞∞∞[.
f est dérivable sur [0 ; +∞[ et f’(x) = 1 x + 1 + x x ∈ [0 ; +∞[ donc 1
x + 1 > 0 et x ≥ 0 d’où f’(x) > 0 ce qui prouve que f est croissante sur [0 ; +∞[.
2. déterminer une équation de la tangente (T) à CCCCf au point d’abscisse 0.
La tangente à Cf au point O d’abscisse 0 a pour équation y = f’(0)(x – 0) + f(0) or f’(0) = 1 et f(0) = 0 donc (T) a pour équation y = x.
3. Tracer la droite (T) sur le graphique.
4. Montrer que sur l’intervalle ]0 ; +∞∞∞∞[, f(x) > x. Que peut−on en déduire graphiquement ? Posons g(x) = f(x) – x. Pour montrer que g(x) > 0 sur ]0 ; +∞[, étudions les variations de g :
g’(x) = f’(x) – 1 = 1
x + 1 + x – 1 = 1 + x² + x - x - 1 x + 1 = x²
x + 1
dans ]0 ; +∞[, x + 1 > 0 et x² > 0 donc g’(x) > 0 ce qui prouve que g est croissante de plus limx→0 g(x) = limx→0 f(x) – limx→0 x = limx→0 ln(x+1) + limx→0 x²/2 – limx→0 x = « 0 + 0 – 0 » = 0 On a alors g(x) > 0 c'est-à-dire : pour x ∈ ]0 ; +∞[, f(x) > x.
On en déduit que : sur ]0 ; +∞[, Cf est au dessus de (T).
Partie C.
On considère la suite (un) définie sur IN par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n, un+1 = f(un).
1. Construire sur l’axe des abscisses les cinq premiers termes de la suite (un) en laissant apparents les traits de construction (utiliser le graphique donné).
voir graphique …
2. A partir de ce graphique, que peut−on conjecturer concernant le sens de variation de la suite (un) et son comportement lorsque n tend vers +∞∞∞∞.
Le graphique nous indique que (un) est croissante et que limn→+∞ un = +∞.
3. a. Monter à l’aide d’un raisonnement par récurrence que, pout tout entier naturel n, un≥ 1.
Initialisation : vérifions que u0 ≥ 1.
en effet u0 = 1 et 1 ≥ 1
Hérédité : Montrons que : un≥ 1 ⇒ un+1 ≥ 1
supposons que un≥ 1. Puisque f est croissante sur [0 ; +∞[, f(un) ≥ f(1) c'est à dire un+1 ≥ ln2 + ½ or ln2 + ½ > 1 donc un+1 ≥ 1.
Conclusion : cette démonstration prouve que : ∀ n ∈ IN, un≥ 1.
b. Montrer que la suite (un) est croissante.
(un) est croissante ⇔ un+1 ≥ un⇔ f(un) ≥ un
or il a été admis (Partie B. 3.) que Cf est au dessus de la droite d’équation y = x et donc que f(x) ≥ x donc (un) est croissante.
c. En raisonnant par l’absurde, montrer que la suite (un) n’est pas majorée.
supposons que (un) soit majorée, comme cette suite est croissante elle est alors convergente vers un réel m.
on a donc limn→+∞ un = m ( avec m ≥ 1 car ∀ n ∈ IN, un≥ 1) d’où limn→+∞ un+1 = m
et comme f est continue (car dérivable) limn→+∞ f(un) = f(m) c'est à dire limn→+∞ un+1 = f(m) m est donc le réel tel que f(m) = m
cette équation n’a pas de solution car pour x ≥ 1, f(x) > x donc notre hypothèse de départ est fausse donc (un) n’est pas majorée.
d. En déduire la limite de la suite (un).
On en déduit que limn→+∞ un = +∞ car d’après la partie A, une suite croissante non majorée tend vers +∞.
2 3 4 5 6
2 3 4 5 6
0 1
1
x y
u0u1 u2 u3 u4
