Devoir surveillé n°2 - bis

TS1 – DS2 bis - correction 1/2 Terminale S1. – Lycée Desfontaines – Melle NOM : ………; Prénom : ………

Devoir surveillé n°2 - bis

Exercice 1 (Adapté de France – septembre 2007) 10 points

La suite

( )

^un est définie par



^u0=1₄

┐n, un+1=² 5un+1.

1. On a représenté dans un repère orthonormé direct du plan la droite d’équation y=2

5x+1. Construire sur l’axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite

( )

^{un . (2 points)}

2

0 1

1

x y

u₀ u₁ u₂ u₃

TS1 – DS2 bis - correction 2/2

2. Montrer par récurrence, que pour tout entier n, on a : unÂ5

3. (3 points) Initialisation : pour n=0, u₀=1

4<5

3 donc u0Â5

3, la propriété est vraie Hérédité : Supposons qu’il existe un entier pÃ0 tel que upÂ5

3 et montrons que up+1Â5 3 u_pÂ5

3 par hypothèse de récurrence donc 2 5u_pÂ2

5×5

3 donc 2

5u_p+1Â2

3+1 càd u_p+1Â5 3. La propriété est donc héréditaire

Conclusion : La propriété est héréditaire et vraie pour n=0 donc ┐n, unÂ5 3.

3. Etudier la monotonie de la suite

( )

^{un . (2 points)}

┐n, un+1−u_n=2

5un+1−u_n=-3 5un+1 Or, ┐n, unÂ5

3 donc -3

5unÃ-3 5×5

3 donc -3

5un+1Ã-1+1 càd u_n+1 –unÃ0 La suite

( )

^un est donc croissante.

4. La suite

( )

^un est-elle convergente ? Si oui, quelle est sa limite. (3 points)

La suite

( )

^un est croissante et majorée par 5

3 donc

( )

^{un converge} et sa limite l vérifie lÂ5 3.

( )

^un admet l pour limite donc limun=lim

(

^un+1

)

^{=l. et ┐n, un+1=f}

( )

^un

De plus, f est affine donc continue sur Ë donc en l donc l= lim

n↔ +õun+1= lim

n↔ +õf

( )

^{un = lim} _X↔

l

f(X)=f(l) donc l est solution dans





 -õ;5

3 de l’équation f(x)=x. Or, dans





 -õ;5

3 , f(x)=xñ2

5x+1=xñ3

5x=1ñx=5 3. Donc S=







5

3

La suite

( )

^un converge donc vers 5 3 .