Étudier la monotonie de la suiteuet donner sa limite

Exercice 2 6 points Commun à tous les candidats

1/ La suiteuest définie par :u0= 2etuⁿ+1= 1

3uⁿ+23

27 pour tout entier natureln.

1. 1. On a représenté dans un repère orthonormé direct du plan en annexe, la droite d’équationy = 1 3x+23

27 et le point A de coordonnées (2 ; 0). Construire sur l’axe des abscisses les quatre premiers termes de la suiteu.

1. 2. Démontrer que si la suiteuest convergente alors sa limite estℓ= 23 18. 1. 3. Démontrer que pour tout entier naturelnon a :un 23

18. 1. 4. Étudier la monotonie de la suiteuet donner sa limite.

2/ 2. 1. Soitnun entier naturel supérieur ou égal à 1. Démontrer que :

n+1

k=2

1 10^k = 1

90

1− 1 10ⁿ

c’est-à-dire que 1 10² + 1

10³ +· · ·+ 1 10ⁿ⁺¹ = 1

90

1− 1 10ⁿ

2. 2. La suitev est définie parvⁿ= 1,277 7. . .7avecndécimales consécutives égales à7. Ainsiv0= 1,2, v1= 1,27etv2= 1,277.

En utilisant leadémontrer que la limite de la suite vest un nombre rationnelr(c’est-à-dire le quotient de deux entiers).

3/ La suiteudéfinie au1et la suitevsont-elles adjacentes ? Justifier.

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