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Terminale S2 DS1 (2 heures) Le 20 septembre 2007

Exercice 1 :

^{(6 points)}

Cet exercice constitue une restitution organisée de connaissances.

PARTIE A

On suppose connus les résultats suivants :

(1)deux suites(un)et(vn)sont adjacentes lorsque l’une est croissante, l’autre décroissante et un vn tens vers0 quandn tend vers+1:

(2) si (un) et (vn) sont deux suites adjacentes, telles que (un) est croissante et (vn) est décroissante, alors, pour tout n appartenant àN;on a : un vn:

(3)Toute suite croissante et majorée est convergente ; toute suite décroissante et minorée est convergente.

Démontrer alors la propriété suivante : "Deux suites adjacentes sont convergentes et ont la même limite."

PARTIE B

On considère une suite(u_n)dé…nie surN, dont aucun terme n’est nul.

On dé…nit alors la suite(v_n)surNpar : v_n= 2 u_n:

Pour chaque proposition indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d’une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre-exemple. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

1. Si (un)est convergente, alors(vn)est convergente.

2. Si (un)est minorée par2;alors(vn)est minorée par 1:

3. Si (u_n)est décroissante;alors(v_n)est croissante.

4. Si (un)est divergente;alors(vn)converge vers0:

Exercice 2 :

(3 points)

Montrer, en l’encadrant, que la suite(un)dé…nie pour toutnpar : un= 3n+ 1

pn²+ 1 + ( 1)ⁿ converge. Quelle est sa limite ?.

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NOM : Exercice 3 :

(12 points)

Le graphique en annexe sera complété et remis avec la copie.

Soit la fonctionf dé…nie sur l’intervalle[0; 2]par : f(x) = 2x+ 1 x+ 1 :

1. Montrer que la fonctionf est croissante sur l’intervalle[1; 2]:Montrer que six2[1; 2]alorsf(x)2[1; 2]: 2. (u_n)et (v_n)sont deux suites dé…nies surNpar :

u₀= 1

Pour tout entier natureln; u_n+1=f(u_n) et v₀= 2

Pour tout entier natureln; v_n+1=f(v_n) : 2.1. Le graphique donné en annexe représente la fonctionf sur l’intervalle[0; 2]:

Construire sur l’axe des abscisses les trois premiers termes de chacune des suites(u_n)et(v_n)en laissant apparents tous les traits de construction.

A partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de variation et la convergence des suites(u_n) et(v_n)

2.2. Montrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence que : 2.2.1. Pour tout entier natureln;1 v_n 2:

2.2.2. Pour tout entier natureln; v_n+1 v_n:

On admettra que l’on peut démontrer de la même manière que : Pour tout entier natureln;1 u_n 2:

Pour tout entier natureln; u_n u_n+1: 2.3. Montrer que, pour tout entier naturel n:

v_n+1 u_n+1= v_n u_n (vn+ 1) (un+ 1):

En déduire que, pour tout entier natureln:vn un 0 etvn+1 un+1

1

4(vn un): 2.4.Montrer que, pour tout entier naturel n; v_n u_n 1

4

n

:

2.5. Montrer que les suites (u_n)et(v_n)convergent vers une même limite :Déterminer la valeur exacte de :

1 2

1

O