Bac Oral 02

D. PINEL, Site Mathemitec : http://perso.numericable.fr/~pinedavi/mathemitec/Index.html Source : Académie d’Aix Marseille

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Exemple de sujet oral bac S spécialité n° 2 Consignes pour le candidat :

• L’épreuve orale dure environ 40 minutes : 20 minutes de préparation suivies de 20 minutes d’exposé.

• Le nombre des exercices varie entre 2 et 4, suivant l’examinateur.

• L’utilisation de la calculatrice peut être autorisée par l’examinateur, mais rien de moins sûr !

Les exercices du sujet suivant constituent une base d’argumentation pour l’entretien : vous préparerez des réponses que vous devrez être capable de justifier (par exemple à l’oral) en précisant les notions de cours indispensables (il est inutile de les rédiger complètement par écrit, comme ci-dessous).

• La démarche et la pertinence des justifications seront valorisées.

• Des questions complémentaires peuvent vous être posées au cours du dialogue.

• N’oubliez pas que l’oral est un oral !! Evitez de rester le nez sur vos notes.

Remarque : en ce qui concerne les élèves de Spé Math, l’examinateur peut très bien ne poser aucun exercice relatif à la spécialité. Il pourra se contenter de poser une question à l’oral ou même rien du tout.

Exercice 1 Soit f, la fonction définie sur par : ^{f x( )= −}

(

^{3 x}

)

^ex.

Justifier les affirmations ci-dessous :

x − ∞ ² + ∞

1. Le tableau de variations de f est :

Signe de f’ + 0 -

Variations de f

0

e2

^{− ∞}

2. Pour tout réel m ≤ e², l’équation f x( )=m admet au moins une solution positive.

Exercice 2 L’équipe de basket d’un lycée doit disputer un match.

8 élèves sont sélectionnés parmi lesquels figure Benjamin.

L’entraîneur choisit au hasard 5 joueurs parmi les 8 sélectionnés.

Calculer la probabilité que Benjamin dispute le match.

Exercice 3 (spécialité)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u , v).

On désigne par s l’application qui à tout point M du plan, d’affixe z , associe le point M’ d’ affixe z’

tel que : z’ = ( – 1 + i) z + 2 – i

1. Donner la nature de s et ses éléments caractéristiques.

2. A et B étant deux points distincts, on note A’ =(s s)(A) et B’ = (s s)(B).

a) Montrer que A’B’ = 2 AB.

b) Les droites (AB) et (A’B’) sont-elles perpendiculaires ?

Les prolongements possibles : exercice 1 : interpréter et/ou calculer ₀^{2 f x}

( )

^dx,

exercice 2 : épreuves répétées …

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Corrigé - Sujet Spé n°02

Exercice 1 Soit f, la fonction définie sur par : ^{f x( )}=(³−^x)^ex.

1. Variations : f est dérivable et on a ^{f x'( )= − + −ex}

(

^{3 x e}

)

^{x =ex}

(

^2−x

)

. Comme une exponentielle est toujours positive, f’(x) a le signe de x-2 : f’(x) est donc négative pour x<2, et positive sinon. On en déduit les variations de f.

Limite en -^∞ : f x^{( )}=(³−x)^ex =3e^x−xe^x. On sait que lim ^x 0

x e

→−∞ = et lim ^x 0

x xe

→−∞ = (croissance comparée) donc les règles usuelles donnent lim ( ) 0

x f x

→−∞ = .

Limite en +∞ : on sait que _x^lim_→+∞^ex = +∞ donc les règles usuelles donnent lim ( )

x f x

→+∞ = −∞. Conclusion : comme ^{f(2) e}= ², on obtient bien le tableau de variations donnés.

2. Nous allons appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.

Sur ] -^∞ ;2], f est continue (car dérivable), strictement croissante : on a _x^{lim ( ) 0}_→−∞^{f x =} et f(2) e= ² donc pour tout réel m compris entre 0 (exclu) et e², l’équation f(x) = m admet une unique solution.

Même raisonnement sur [2 ;+∞[.

Remarque :

• Si m > e², m n’a aucun antécédent.

• Si m = e² ou m = 0, m admet un unique antécédent.

• Si 0 < m < e², l’équation f(x) = m admet exactement deux solutions.

• Si m < 0, elle admet une unique solution.

Exercice 2

• Parmi 8 joueurs, il y a ⁸

5 choix possibles de 5 joueurs.

• Choisissons Benjamin : il reste ⁷

4 choix possibles de 4 joueurs.

La probabilité cherchée est donc 7

4 5

8 8

5

p= = soit 62.5%.

Exercice 3

On désigne par s l’application qui à tout point M(z) associe le point M’(z’) où z’ = ( – 1 + i) z + 2 – i

1. L’écriture complexe de s est de la forme z’ = az + b : c’est donc une similitude directe de rapport | – 1 + i| = ² et d’angle arg(-1+i) = ³

4

π . Son centre est l’unique point fixe I de s dont l’affixe vérifie z’ = z. On trouve z = 1.

2. A et B étant deux points distincts, on note A’ =(s s)(A) et B’ = (s s)(B).

Comme composée de 2 similitudes directes de même centre I, f = s s est une similitude directe de centre I, de rapport 2² = 2 et d’angle ³ 2 ³

4 2

π_{× =} π .

a. Comme A’ = f(A) et B’ = f(B), f étant de rapport 2 on a ^{A B' ' 2}

AB = , d’où le résultat.

b. De la même manière, on a

(

^{AB A B, ' '}

)

⁼³₂^π donc les droites (AB) et (A’B’) sont perpendiculaires.