Bac Oral 07

(1)

D. PINEL, Site Mathemitec : http://perso.numericable.fr/~pinedavi/mathemitec/Index.html Source : Académie d’Aix-Marseille

1

Exercice 1

Soit f une fonction définie et dérivable sur

[

⁻^4; ^{+ ∞}

[

^{dont la}

représentation graphique C_f, dans un repère orthonormal

(

^{O; ;}^{i j}

)

^est

donnée ci-contre. ∆ est la droite d’équation : y =x . On précise que : pour tout ^x ^∈

[

^0;^{+ ∞}

[

^,^f

( )

^x ^≥⁰^;

la droite d’équation y =0 est asymptote à la courbe représentative de f en + ∞.

a) L’équation ^{f '}

( )

^x ⁼⁰^{admet :} aucune solution exactement une solution exactement deux solutions exactement

trois solutions plus de trois solutions

b) f 'change de signe en x =2 vrai faux on ne peut pas savoir

c) ^{f x}

( )

^>^x ^pour^x ^∈^:

]

⁻^{4; 1}

[ [

⁻^4;1

] ] [

^1;^α

[

^α^{; 5}

[

Autre réponse

d) Pour tout ^a^∈

[

^0;^{+ ∞}

[

, L’équation ^f

( )

^x ⁼^a

admet au moins une solution dans

[

⁻^{4; 7}

]

^vrai ^faux on ne peut pas savoir

e) il existe deux réels a et b tels que :

a b≠ et ^{f a}

( ) ( )

⁼^{f b} ^vrai ^faux on ne peut pas savoir

Consignes pour le candidat :

• L’épreuve orale dure environ 40 minutes : 20 minutes de préparation suivies de 20 minutes d’exposé.

• Le nombre des exercices varie entre 2 et 4, suivant l’examinateur.

• L’utilisation de la calculatrice peut être autorisée par l’examinateur, mais rien de moins sûr !

Les exercices du sujet suivant constituent une base d’argumentation pour l’entretien : vous préparerez des réponses que vous devrez être capable de justifier (par exemple à l’oral) en précisant les notions de cours indispensables (il est inutile de les rédiger complètement par écrit, comme ci-dessous).

• La démarche et la pertinence des justifications seront valorisées.

• Des questions complémentaires peuvent vous être posées au cours du dialogue.

• N’oubliez pas que l’oral est un oral !! Evitez de rester le nez sur vos notes.

Sujet n°7

Exercice 2

a) La suite u définie par , u⁰ = 1 et, pour tout entier n :

un+1 = u n + 3 , est convergente. vrai faux on ne peut pas savoir

b)

La suite u définie par : u0 = 1 et, pour tout entier n : un+1 = ⁴

5 u n , est convergente. vrai faux on ne peut pas savoir

c) La suite u définie par : un = ^{ln n}

( )

n , pour n∈ ∗, est convergente. vrai faux on ne peut pas savoir d) La suite u définie par : un =

( )

2

exp n

n ,pour n∈ ∗, est convergente. vrai faux on ne peut pas savoir e) Si deux suites u et v sont adjacentes, alors elles sont bornées. vrai faux on ne peut pas savoir f) La suite u définie par un = ^{sin n}

( )

n ,pour n∈ ∗, est convergente. vrai faux on ne peut pas savoir

j

i

O 2

−2

−4

α 5 7

∆

Cf

(2)

2

Exercice 3 p ¹ et q ³

4 4

= =

1 1

p et q

2 2

= =

a) ^p⁼³₅^{et q}⁼²₅

R et G sont deux événements d’un espace probabilisé avec ^{p G}

( )

⁼³₅^.

Quelles sont les probabilités p et q de l’arbre pondéré ci-

contre ? ₃ ₁

p et q

4 4

= =

b) On dispose de dix jetons numérotés de 1 à 10 et on en extrait deux, sans remise, pour former un «paquet ». Combien de « paquets » contenant au moins un jeton avec numéro pair peut-on

ainsi former ? 20 35 70

c)

A et B sont deux événements d’un espace probabilisé tels que :

( )

p A =0,4, ^{p B}

( )

⁼^0,5^et^{p A B}

(

^∪

)

⁼^0,35. Combien vaut

( )

p A B∩ ?

0,1 0,25 Les données sont insuffisantes pour répondre

d) A et B sont deux événements d’un espace probabilisé tels que: ^{p A B}

(

^∩

)

⁼¹₆^etp BA

( )

1

=4 . Combien vaut ^{p A}

( )

^?

2 3

1 24

6 4 G

G

12

G

p q 3 R

5

2 R

5

(3)

3 Corrigé - Sujet n°7

Exercice 1

1. Pour déterminer le nombre de solutions de f ’(x) = 0, on compte le nombre de points de C qui admettent une tangente horizontale : nous en voyons exactement 3 (en supposant que Cf garde la même allure ) ou au moins 3 (sinon).

« réponse 4 (ou 5) »

2. oui, f ‘(x) change de signe en x = 2. Elle passe des négatifs (courbe décroissante) aux positifs (courbe croissante : « réponse 1 ».

3. Pour résoudre f(x) > x, on regarde l’abscisse des points de C au dessus de ∆ : on trouve

] 4;1[ ] ;5[

x∈ − α : « autre réponse ».

4. Faux : Si a est assez grand, l’équation f(x) = a n’a pas de solutions puisque f admet un maximum sur [-4 ;7] : « réponse 2 ».

5. Vrai : par exemple, sur [-4 ;7] il existe deux réels a et b tels que f(a) = f(b) = 0 puisque la courbe coupe deux fois l’axe des abscisses.

Remarque : certaines hypothèses de l’énoncé sont inutiles ou les questions floues. Je les ai laissé volontairement, penser à garder l’esprit critique !! (mais pas trop).

Exercice 2

1. Si un+1 = u n + 3 alors la suite ne peut pas converger : « réponse 2 ». En effet, si elle tend vers L alors L doit vérifier L = L + 3 cad 0 = 3 !

2. Si un+1 = ⁴

5 u n alors la suite converge vers 0 : « réponse 1 ». En effet, on a une suite géométrique de raison q telle que –1 < q < 1 donc ₀ 4

5

n

un = ×u tend vers 0.

3. D’après les résultats de croissance comparée, la suite un = ^{ln n}

( )

n tend vers 0 : « réponse 1 ».

4. De même, un =

( )

2

exp n

n tend vers l’infini donc ne converge pas (elle diverge) : « réponse 2 ».

5. Deux suites adjacentes sont convergentes donc bornées : « réponse 1 ».

6. Remarquons que pour tout n non nul, 1 sin( ) 1 1 sin( )n 1

n n n n

− ≤ ≤ − ≤ ≤ . Comme lim 1 0

n^→+∞n= , le théorème des gendarmes permet d’affirmer que lim _n 0

n u

→+∞ = : « réponse 1 ».

j

i

O 2

−2

−4

α 5 7

∆

Cf

(4)

4 Exercice 3

1. D’après la formule des probabilités totales, ^{p G}

( )

⁼ ^{p G R}

( )

⁺^{p G R}

( )

. On résout donc l’équation

3 3 1 2 3

5 5 2 5= × + × ⇔ =p p 4 : « réponse 4 ».

2. Au total, il y a 10

2 =45 cas. Entre 1 et 10, il y 5 chiffres pairs donc 5 impairs : il y a alors 5

2 =10 façons de ne piocher aucun pair donc 45 – 10 = 35 façons de tirer au moins un pair : « réponse 2 ».

3. On sait que ^{p A B}

( )

⁼^{p A}

( ) ( ) (

⁺^{p B} ⁻^{p A B}

)

^{. Comme}^{p A B}

( )

^{= −}¹ ^{p A B}

( )

⁼^0.65^{, on a}

( )

0.9 0.65 0.25

p A B = − = : « réponse 2 ».

4. On sait que

( ) ( ) ( )

A

p A B

p B = p A donc

( )

^{1/ 6 2}

( ) _A 1/ 4 3

p A B

p A = p B = = : « réponse 1 ».