Bac Oral 06

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D. PINEL, Site Mathemitec : http://perso.numericable.fr/~pinedavi/mathemitec/Index.html Source : Académie d’Aix Marseille

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Sujet n°6

Consignes pour le candidat :

• L’épreuve orale dure environ 40 minutes : 20 minutes de préparation suivies de 20 minutes d’exposé.

• Le nombre des exercices varie entre 2 et 4, suivant l’examinateur.

• L’utilisation de la calculatrice peut être autorisée par l’examinateur, mais rien de moins sûr !

Les exercices du sujet suivant constituent une base d’argumentation pour l’entretien : vous préparerez des réponses que vous devrez être capable de justifier (par exemple à l’oral) en précisant les notions de cours indispensables (il est inutile de les rédiger complètement par écrit, comme ci-dessous).

• La démarche et la pertinence des justifications seront valorisées.

• Des questions complémentaires peuvent vous être posées au cours du dialogue.

• N’oubliez pas que l’oral est un oral !! Evitez de rester le nez sur vos notes.

Exercice 1

1. Soit le nombre complexe z de module 2 et dont un argument est :

3

−π . a) Donner l’écriture algébrique de ce nombre complexe z .

b) Donner l’écriture algébrique et exponentielle des nombres complexes suivants : (−z) ; 1 z et z . 2. Soit z' le nombre complexe : z' 2 2= − + i.

a) Donner l’écriture exponentielle de z'.

b) Donner l’écriture exponentielle des nombres : z z× ' et ' z z .

Exercice 2 On considère un dé pipé tel que la probabilité d’obtenir, lorsqu’on le lance, chacune des faces soit donnée par le tableau suivant :

face 1 2 3 4 5 6

probabilité 1

4

1 12

1 6

1 12

1 6

1 4 1. Expliquer pourquoi on définit ainsi une loi de probabilité sur l’ensemble {1,2,3,4,5,6}.

2. On lance ce dé trois fois de suite.

a) Quelle est la probabilité d’obtenir trois faces paires ?

b) Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une fois une face paire ?

Exercice 3

1. Quel est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse 1 à la courbe représentant la fonction f définie pour x > 0

par : 4

( ) 8 ln 3

f x x x

= − + x ? 2. Justifier les résultats suivants :

lim ln 1

x

x x x

→ + ∞

− = − et ^lim_x_→+∞

(

^e^x ⁻^x

)

^{= +∞}^.

3. Soit la suite géométrique u de premier terme u₀=1 et de raison 2 3. Déterminer le plus petit entier naturel n tel que : u_n <10⁻⁵.

Les prolongements possibles : exercice 1 : représenter les points d'affixes données.

exercice 2 : loi binomiale , introduction d'une variable aléatoire.

exercice 3 : étude de la fonction f.

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Corrigé - Sujet n°6 Exercice 1

1. Soit le nombre complexe z de module 2 et dont un argument est : 3

−

π

.

a) La forme trigonométrique de z est 2 cos sin

3 3

z= −π +i −π donc 2 1 3 1 3

2 2

z= −i = −i . b) Remarquons que l’écriture exponentielle de z est z 2e ⁱ³

−π

= .

• Comme z 2e ⁱ³

−π

= et 1− =eⁱ^π, on a

2

3 3 3

2 ⁱ ⁱ 2 ⁱ 2 ⁱ

z e e e e

π π π−π π

− = − = = .

Comme z= −1 i 3 on a − = − +z 1 i 3.

−π

= , on a ³

3

1 1 1 1

2 2

i

i e

z e

π

−π

= × = . On en déduit que 1 1 1 3 1 3

2 2 i 2 4 i 4

z = × + = + .

−π

= , on a z 2eⁱ³

π

= . Comme z= −1 i 3 on a z= +1 i 3. 2. Soit z' le nombre complexe : ' 2 2z = − + i.

a) On calcule le module : ^z^'⁼

( )

⁻² ²⁺²² ⁼^{2 2}. Ainsi, un argument de z’ vérifie :

2 2

cos( ) 2 2 2

2 2

sin( ) 2 2 2 τ τ

= − = −

= =

. On en déduit

que 3 4

τ = π et donc

3

' 2 2 ⁱ4

z e

π

= .

b) On utilise les règles sur les exponentielles.

• z z' 2e ⁱ³ 2 2eⁱ³⁴ .. 4 2eⁱ⁵¹²

π π π

× = − × = = .

• ³₃ ¹³¹² ¹¹¹²

4

2 .. 2 2

' 2 2

2 2

i i i

i

z e e e

z e

π π π

π

− −

= = = = .

Exercice 2 1. On définit ainsi une loi de probabilité sur l’ensemble {1,2,3,4,5,6} car :

• P( X =k ) est défini pour tout k de l’ensemble {1,2,3,4,5,6}.

• La somme des P( X =k ) pour tous ces k est égale à 1.

2. Il va de soi que les lancés de dé sont supposés indépendants.

a. Notons A l’évènement « 3 faces paires ». Pour réaliser A, comme les lancés sont indépendants, il faut obtenir pair à chaque lancé : la probabilité de cet évènement est ^{p p X}⁼

(

^{= +}²

) (

^{p X} ^{= +}⁴

) (

^{p X}⁼⁶

)

⁼₁₂⁵ ^.

Par conséquent, ^{p A}

( )

⁼ ₁₂⁵ ³^.

b. Soit B l’évènement « obtenir au moins une face B ». Son contraire, B , est « obtenir que des faces impaires.

A l’aide du calcul précédent, on a ^{p B}

( )

^{= −}¹ ₁₂⁵ ³⁼ ₁₂⁷ ³^.

Ainsi, ^{p B}

( )

^{= −}¹ ^{p B}

( )

^{= −}¹ ₁₂⁷ ³^.

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3 Exercice 3

1. Le coefficient directeur d’une tangente est le nombre dérivé : on cherche donc f ’(1).

On a 8 4₂

'( ) 3

f x = − −x x donc f'(1) 1= . 2. Justifions que

lim ln 1

x

x x x

→ + ∞

− = − . On a ln( )x x ln( )x x ln( )x 1

x x x x

− = − = − . D’après les résultats de croissance comparée, on sait

que limln( ) 0

x

x x

→+∞ = , d’où le résultat cherché.

Justifions maintenant que^lim_x_→+∞

(

^e^x ⁻^x

)

^{= +∞}^:^e^x^{− =}^{x x} ^e_x^x ⁻¹ . D’après les résultats de croissance comparée, on sait que lim ^x

x

e x

→+∞ = +∞, d’où le résultat cherché.

3. La suite géométrique u de premier terme u₀=1 et de raison 2

3 peut s’écrire sous la forme ₀ 2 3

n n

un= ×u q = .

Par conséquent,

( ) ( )

( )

ln ln(2 / 3) 0 5

5 2 5 2 5 ln 10

10 10 ln ln 10 28.4 25

3 3 ln 2 / 3

croissant n

un n n n

< −

− − −

< ⇔ < ⇔ < ⇔ > ≈ ≥ .