D. PINEL, Site Mathemitec : http://perso.numericable.fr/~pinedavi/mathemitec/Index.html Source : Académie d’Aix Marseille
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Sujet n°2 Consignes pour le candidat :
• L’épreuve orale dure environ 40 minutes : 20 minutes de préparation suivies de 20 minutes d’exposé.
• Le nombre des exercices varie entre 2 et 4, suivant l’examinateur.
• L’utilisation de la calculatrice peut être autorisée par l’examinateur, mais rien de moins sûr !
Les exercices du sujet suivant constituent une base d’argumentation pour l’entretien : vous préparerez des réponses que vous devrez être capable de justifier (par exemple à l’oral) en précisant les notions de cours indispensables (il est inutile de les rédiger complètement par écrit, comme ci-dessous).
• La démarche et la pertinence des justifications seront valorisées.
• Des questions complémentaires peuvent vous être posées au cours du dialogue.
• N’oubliez pas que l’oral est un oral !! Evitez de rester le nez sur vos notes.
Exercice 1 1. Déterminer un argument de 1 + i 3 . 2. En déduire un argument de – 3
1 + i 3
i .
Exercice 2 Les questions sont indépendantes.
Pour chacune d’elles, une seule des quatre propositions de réponse est exacte.
1. La transformation géométrique associée à
π
−
֏ ei 2
z z est …
l’homothétie de centre O
et de rapport – 1 la rotation de centre O
et d’angle π
la rotation de centre O et d’angle π
2
la rotation de centre O et d’angle – π
2
2. Soit la fonction f définie sur R par : f x( )= e−xln (1 e )+ x .
a. Pour tout réel x, f ’(x) = …
- 1
e ln(1 e ) 1 e
x x
x
− + +
+
e ln(1 e ) 1 1 e
x x
x
− + −
+ 1
e
1 e
x x
− −
+
e ln(1 e ) e 1 e
x
x x
x
− −
− + +
+
b. La fonction f est solution de l’équation différentielle …
y’ + y = ln (1 + ex) y’ + y = e–x y’ + y = 0 y’ + y = 1
1 + ex
Prolongements possibles : résolution de l’équation y’ + y = 0,
( )
lim
x
→ − ∞ f x …
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Corrigé
Exercice 1 1. Déterminer un argument de 1 + i 3 . 2. En déduire un argument de – 3
1 + i 3
i .
1. On a |1 + i 3| = 12 +
( )
3 2 = 4 =2. Par conséquent, on doit trouver un angle θ tel que :( ) ( )
cos 1
2 3 3 sin
2 x r y r
θ θ π
θ
= =
⇒ =
= =
.
2. On sait que arg arg( ) arg( ') arg( ') arg( ) arg( ') '
z z z et z z z z
z = − × = +
donc on a
( )
2 3
1 3 1 3 5
arg 3 arg( 3) arg arg( 3) arg 1 3 arg( )
6
i i
i i
i i π π
π
π
+ +
− = − + = − + + − =
.
Exercice 2 Les questions sont indépendantes.
Pour chacune d’elles, une seule des quatre propositions de réponse est exacte.
1. Rappelons que eiπ = −1. On a z z i zei i z i
π π π
= − = π × =
3
2 2 2
' e e e cad z' 0− =ei32π
(
z−0)
donc la transformation associée est …l’homothétie de centre O
et de rapport – 1 la rotation de centre O
et d’angle π
la rotation de centre O et d’angle π
2
la rotation de centre O et d’angle – π
2
2. Soit la fonction f définie sur R par : f x( )= e−xln (1 e )+ x .
a. Pour tout réel x, f ’(x) = …
1
e ln(1 e ) 1 e
x x
x
− − + +
+
e ln(1 e ) 1 1 e
x x
x
− + −
+ 1
e
1 e
x x
− −
+
e ln(1 e ) e 1 e
x
x x
x
− −
− + +
+
b. On vient de voir que 1
'( ) ( )
1 ex f x = −f x +
+ donc la fonction f est solution de l’équation différentielle …
y’ + y = ln (1 + ex) y’ + y = e–x y’ + y = 0 y’ + y = 1
1 + ex
