Bac Oral 01

(1)

D. PINEL, Site Mathemitec : http://perso.numericable.fr/~pinedavi/mathemitec/Index.html Source : Académie d’Aix Marseille

1

Sujet n°1

Consignes pour le candidat :

• L’épreuve orale dure environ 40 minutes : 20 minutes de préparation suivies de 20 minutes d’exposé.

• Le nombre des exercices varie entre 2 et 4, suivant l’examinateur.

• L’utilisation de la calculatrice peut être autorisée par l’examinateur, mais rien de moins sûr !

Les exercices du sujet suivant constituent une base d’argumentation pour l’entretien : vous préparerez des réponses que vous devrez être capable de justifier (par exemple à l’oral) en précisant les notions de cours indispensables (il est inutile de les rédiger complètement par écrit, comme ci-dessous).

• La démarche et la pertinence des justifications seront valorisées.

• Des questions complémentaires peuvent vous être posées au cours du dialogue.

• N’oubliez pas que l’oral est un oral !! Evitez de rester le nez sur vos notes.

Exercice 1 Chaque question peut avoir une seule ou plusieurs bonnes réponses.

Les questions 1°) ; 2°) et 3°) sont indépendantes.

1. a. On donne ci-contre, dans un repère orthonormal

(

^{O; ;}^{i j}

)

, les courbes d’équation : e^x

y= , y=lnx, y x= et x=e. Associer chaque courbe à son équation.

b. La courbe C1 est l’image de la courbe C2 par : la rotation de centre O

et d’angle

π

2 la translation de

vecteur u = −j i la symétrie centrale de centre O la symétrie axiale d’axe, la droite ∆

c. Hachurer sur le graphique une zone du plan ayant la même aire que la zone grisée.

d. L’aire de la zone grisée vaut, en unité d’aire :

₀¹ ^{e exp}⁻

( )

^x ^d^x ₀¹^exp

( )

^x ^d^x ₁^e^ln

( )

^x ^d^x ₁^e ^{1 ln}⁻

( )

^x ^d^x

2. Soit C la courbe d’équation y =e^{2 3 ln}⁺ ^x

La tangente à C, au point d’abscisse e, a pour équation :

y=e⁴x+e⁵ y=3 e⁵ x−2 e⁵ y=2 e⁴x−e⁵ y=3 e⁴x−2e⁵

3. On considère une variable aléatoire X . Sa loi de probabilité est binomiale de paramètres ^{n 10}⁼ et p 0,4 = .

a. L’espérance et la variance d’une telle loi sont : E 4 ; V 2, 4= = E 10, 4 ; V 0, 24= = E 4 ; V 0, 24= = E 10, 4 ; V 2, 4= =

b. La probabilité p(X = 2) est :

8 ² ⁸

0, 4 0,6

2 × × 10 ⁸ ²

0,4 0,6

2 × × 10 ² ⁸

0, 4 0,6

2 × × 2 0,4× ²×0,6⁸

Exercice 2 Les suites

( )

un et

( )

vn définies pour tout entier naturel non nul par : u_n 1 ¹

= −n etv_n 1 ¹₂

= +n . 1. Calculer un 1₊ −un. En déduire le sens de variation de la suite

( )

un

2. Déterminer le sens de variation de la suite

( )

vn . 3. Ces deux suites sont-elles adjacentes ?

4. Etudier la convergence des suites

( )

un et

( )

vn .

C1

∆ d

C2

O i j

(2)

D. PINEL, Site Mathemitec : http://perso.numericable.fr/~pinedavi/mathemitec/Index.html Source : Académie d’Aix Marseille

2

Prolongements possibles : le calcul de l’intégrale, l’étude des variations de x→ e^{2 3 ln}⁺ ^x, …

Corrige.

Exercice 1 Chaque question peut avoir une seule ou plusieurs bonnes réponses.

Les questions 1°) ; 2°) et 3°) sont indépendantes.

1. a. y=e^x →C₁ ; y=lnx →C₂ ; y x= → ∆ et x=e→d.

b. La courbe C1 est l’image de la courbe C2 par :

la rotation de centre O

et d’angle

π

2 la translation de

vecteur u = −j i la symétrie centrale de centre O la symétrie axiale d’axe, la droite ∆

c. Hachurer sur le graphique une zone du plan ayant la même aire que la zone grisée : il suffit d’hachurer la zone symétrique de la zone grisée par la symétrie axiale d’axe la droite ∆. En effet, une symétrie conserve les aires.

d. L’aire de la zone grisée vaut, en unité d’aire :

₀¹ ^{e exp}⁻

( )

^x ^d^x ₀¹^exp

( )

^x ^d^x ₁^e^ln

( )

^x ^d^x ₁^e ^{1 ln}⁻

( )

^x ^d^x

2. Soit C la courbe d’équation ^y =^e^{2 3 ln}⁺ ^x : l’équation de la tangente au point d’abscisse a est donnée par

( )

( ) '( )

y= f a + f a x a− . Ici, f e( )=e⁵ et f x'( ) 3e^{2 3ln( )}^x x

= + donc f e'( ) 3e⁵ 3e⁴

=e = .

La tangente à C, au point d’abscisse e, a donc pour équation :

y=e⁴x+e⁵ y=3 e⁵ x−2 e⁵ y=2 e⁴x−e⁵ y=3 e⁴x−2e⁵

3. On considère une variable aléatoire X . Sa loi de probabilité est binomiale de paramètres ^{n 10}= et p 0,4 = .

a. L’espérance et la variance d’une telle loi sont : E x( )= np V x, ( )=np(1−p). ^E⁼^{4 ; V} ⁼^{2, 4} E 10, 4 ; V= =0, 24 ^E⁼^{4 ; V} ⁼^{0, 24} E 10, 4 ; V= =2, 4

b. La probabilité p(X = 2) est : ⁸ 0, 4² 0, 6⁸

2 × × ¹⁰ 0, 4⁸ 0, 6²

2 × × ¹⁰ 0, 4² 0, 6⁸

2 × × 2 0, 4× ²×0, 6⁸

Exercice 2 Les suites

( )

un et

( )

vn définies pour tout entier naturel non nul par : n

u 1 1

= −n et n 2

v 1 1

= +n . 1. On a

( )

n 1 n

1 1 1 1 1

u u 1 1

1 1 1

n n n n n n

+ − = − − − = − =

+ + + > 0 sur IN donc la suite

( )

un est croissante.

2. On a

( ) ( ) ( )

( )

n 1 n 2 2 2 2 2 2

2 1

1 1 1 1

v v 1 1 0

1 1 1

n

n n

n n n n

+

− +

− = + − + = − = <

+ + + donc la suite

( )

vn est décroissante.

3. n 2 2

1 1 1 1

u 1 1 0

n n

n

vn

n n

− = − − + = − − →+∞→ puisque lim¹ lim ¹₂ 0

n^→+∞n =n^→+∞n = donc oui, les suites sont adjacentes.

4. Comme lim¹ lim ¹₂ 0

n^→+∞n=n^→+∞n = , les suites

( )

un et

( )

vn tendent vers 0 (le fait qu’elles soient adjacentes est inutile).

C1

∆ d

C2

O i j