Bac Oral 03

D. PINEL, Site Mathemitec : http://perso.numericable.fr/~pinedavi/mathemitec/Index.html 1 Sujet n°3

Consignes pour le candidat :

- L’épreuve orale est constituée d’une préparation d’une vingtaine de minutes suivie d’un entretien de même durée.

- Vous pouvez utiliser votre calculatrice et du brouillon.

- Les exercices du sujet suivant constituent une base d’argumentation pour l’entretien : vous préparerez des réponses que vous devrez être capable de justifier en précisant, lorsque c’est utile, les notions de cours indispensables. (Il est inutile de les rédiger complètement par écrit) - La démarche et la pertinence des justifications seront valorisées.

- Des questions complémentaires peuvent vous être posées au cours du dialogue.

Exercice 1 Chaque question peut avoir une seule ou plusieurs bonnes réponses.

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

x

− ∞ 1 3

+ ∞

Variations de

f 0

+ ∞

− ∞

4

1 1. Le tableau ci-contre donne les variations

d’une fonction f, définie et dérivable sur :

]

^{− ∞;1}

[ ]

^{∪ 1;+ ∞}

[

_.

Entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s).

a L’équation ^f

( )

^x = ² :

n’admet aucune solution admet

une solution admet deux solutions admet trois solutions

b Pour tout ^{x ∈}

]

^{3; + ∞}

[

_:

^{1 f '≤}

( )

^{x ≤ 4 f '}

( )

^{x < 0 f '}

( )

^{x ≥ 0} on ne peut pas connaître le signe de^{f ' x}

( )

c ⁴

3

f x x ( ) d 0 ≤

₃⁴

f x x ( ) d 0 ≥ 1 ≤

₃⁴

f x x ( )d 4 ≤ 2 ≤

₃⁴

f x x ( )d 8 ≤

2. On considère trois suites

( )

un ,

( )

vn et

( )

wn qui vérifient la propriété suivante :

« Pour tout entier naturel n strictement positif : ^{un ≤vn ≤w n} ».

a Si la suite

( )

vn tend vers −∞, alors : la suite

( )

wn tend

vers −∞ la suite

( )

vn

est décroissante la suite

( )

un tend vers −∞

On ne peut pas conclure sur la limite de

( )

wn

b Si ^{n→ + ∞lim un = l} et pour tout entier naturel n : ^{wn =2un}, alors : _nlim vn l

→ + ∞ = La suite

( )

wn tend

vers +∞ _nlim w

(

n un

)

l

→ + ∞ − = On ne peut pas conclure sur la limite de

( )

vn

Exercice 2 Une chaîne de supermarchés vend des sacs à ses clients pour le transport de leurs achats.

On considère que la probabilité qu’un sac soit défectueux est de 0,03. Les sacs sont livrés par lot de 10.

On suppose que leurs défectuosités sont indépendantes.

On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de sacs défectueux dans un lot de 10.

1. Calculer à ¹⁰⁻⁴près, la probabilité que dans un lot de 10 sacs, 2 soient défectueux.

2. Donner l’espérance mathématique de X.

Les prolongements possibles : Dans l’exercice 2 : Quelle est la loi de probabilité de X? Calculer à 10⁻⁴près, la probabilité que dans un lot de 10 sacs, 2 au moins soient défectueux…

D. PINEL, Site Mathemitec : http://perso.numericable.fr/~pinedavi/mathemitec/Index.html 2 Corrigé - Sujet n°3

Exercice 1

1. a. Comme f est dérivable sur son domaine I, elle est continue sur I : d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f(x) = 2 admet 3 solutions.

b. Sur ]3;+∞[, comme f est strictement décroissante, on peut affirmer que f’(x) < 0.

c.D’après le tableau de variations, sur ]3;+∞[, on a 1≤ f x( ) 4≤ : en passant à l‘intégrale, il vient

4 4 4 4

3 3 3 3

1 dx ≤ f x dx ( ) ≤ 4 dx ⇔ ≤ 1 f x dx ( ) ≤ 4

(réponse 4).

Par conséquent, la réponse 2 est aussi juste.

2. Supposons que ^{un ≤vn ≤w n} . a. Si lim _n

n v

→+∞ = −∞, comme u_n ≤v_n, par comparaison on a lim _n

n u

→+∞ = −∞ (réponse 3).

La réponse 4 est aussi juste : on ne peut rien dire sur la limite dew_n. b. Si lim _n

n u l

→+∞ = , comme w_n =

2

u_n alors lim _n 2

n w l

→+∞ = et par conséquent _{n→ + ∞}lim w

(

n ⁻un

)

⁼2^{l l− =l} (réponse 3).

La réponse 4 est aussi juste : on ne peut pas conclure sur la limite de

( )

vn .

Exercice 2

On considère que la probabilité qu’un sac soit défectueux est de 0,03. Les sacs sont livrés par lot de 10.

On suppose que leurs défectuosités sont indépendantes.

On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de sacs défectueux dans un lot de 10.

1. La variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli B(10 ; 0.03). Par conséquent,

(

²

)

^{10 0.032 0.978} 0.0317 3.17%

P X = = 2 × ≈ = .

2. Pour une loi binomiale, l’espérance mathématique est le produit des paramètres : ainsi, E(X) = 10*0.03 = 0.3.

Dans un lot de 10 sacs, en moyenne 0.3 seront défectueux.