Bac Oral 03

D. PINEL, Site Mathemitec : http://perso.numericable.fr/~pinedavi/mathemitec/Index.html Source : Académie d’Aix Marseille

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Exemple de sujet oral bac S spécialité n° 3 Consignes pour le candidat :

• L’épreuve orale dure environ 40 minutes : 20 minutes de préparation suivies de 20 minutes d’exposé.

• Le nombre des exercices varie entre 2 et 4, suivant l’examinateur.

• L’utilisation de la calculatrice peut être autorisée par l’examinateur, mais rien de moins sûr !

Les exercices du sujet suivant constituent une base d’argumentation pour l’entretien : vous préparerez des réponses que vous devrez être capable de justifier (par exemple à l’oral) en précisant les notions de cours indispensables (il est inutile de les rédiger complètement par écrit, comme ci-dessous).

• La démarche et la pertinence des justifications seront valorisées.

• Des questions complémentaires peuvent vous être posées au cours du dialogue.

• N’oubliez pas que l’oral est un oral !! Evitez de rester le nez sur vos notes.

Remarque : en ce qui concerne les élèves de Spé Math, l’examinateur peut très bien ne poser aucun exercice relatif à la spécialité. Il pourra se contenter de poser une question à l’oral ou même rien du tout.

Exercice 1 Soit f la fonction définie sur ] 1 ; + ∞ [ par : f (x) = x 2 – 1

ln x 1. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

2. Montrer que la courbe C représentative de f admet, au voisinage de + ∞, une droite asymptote.

3. Étudier le sens de variation de f.

Exercice 2 Les questions sont indépendantes.

Pour chacune d’elles, une seule des quatre propositions de réponse est exacte.

Soit A, B, C trois points non alignés du plan P.

G est le point défini par : AG = 1^→

4

AB + 1→

2

AC et I est le centre de gravité du triangle ABC. →

1. Le point G est le barycentre du système { (A ;1 ), (B ;1), (C ;α)}. On a :

α = – 1 α = – 2 α = 2 α = 0

2. L’ensemble des points M du plan vérifiant :

||

MA + ^→ MB + ^→ MC ^→

||

= 3 MC est :

la droite (AB) Le cercle de centre C et de rayon 4 Le cercle de centre G qui passe par I La médiatrice de [CI]

Exercice 3 (spécialité)

Déterminer en utilisant l’algorithme d’Euclide une solution particulière entière de l’équation : 145x+55y=5.

Les prolongements possibles : exercice 2 : l’application f qui, à tout point M du plan, associe le point M’, définie par :

'

MM =MA MB MC+ + ^{est :}

l’homothétie de centre M et de rapport 3

l’homothétie de centre I et de rapport 3

l’homothétie de centre I et de rapport 2

l’homothétie de centre I et de rapport –2….

exercice 3 : en déduire toutes les solutions…

D. PINEL, Site Mathemitec : http://perso.numericable.fr/~pinedavi/mathemitec/Index.html Source : Académie d’Aix Marseille

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Corrigé - Sujet Spé n°03 Exercice 1 Soit f, la fonction définie sur ] 1 ; + ∞ [ par :

( ) 1

( )

f x 2 lnx

= − x . 1. Limite à droite de 1 : on sait que ^{lim ln}_{x 1}+

( )

^{x 0}

+

→ = donc

( )

1

lim 1 ln

x^→+ x = +∞. Les règles usuelles sur les limites donnent alors

lim ( )1

x ₊ f x

→ = −∞.

Limite en l’infini : on sait que_x^{lim ln}_{→ +∞1}

( )

^{x = +∞ donc} _x^{lim ( )}_→+∞ ^{f x = +∞.}

2. Si on considère la droite (d) d’équation 2

y= x, on constate que

1

( )

lim ( ) lim 0

2 ln

x x

f x x

x

→+∞ − = →+∞ = : cette droite est donc asymptote à la courbe.

3. f est dérivable sur son domaine : ^{g x( )=ln1}

( )

^x est de la forme ¹

u donc ¹ ' u₂^' u = −u . Ainsi,

( )

^{2 2}

( )

1 1/ 1 1

'( )

2 ln( ) 2 ln f x x

x x

= + x = + . Sur son domaine, f’ est positive donc f est croissante.

Exercice 2 On se donne G tel que AG = 1^→

4

AB + 1→

2 AC. →

1. On cherche α tel que G soit le barycentre du système { (A ;1 ), (B ;1), (C ;α)}.

Rappelons que G est l’unique point tel que GA GB+ +αGC=0. A l’aide de la relation de Chasles, AG = 1^→

4

AB + 1→

2

AC → ^{3 1 1 1 1 1} 0

4 4 2 4 4 2

AG= AG+ GB+ GC⇔ GA+ GB+ GC= soit encore

2 0

GA GB+ + GC= . Ainsi, α = 2.

2. Comme I est le centre de gravité du triangle ABC, pour tout point M du plan MA + ^→ MB + ^→ MC = 3 ^→ MI . Ainsi

||

MA + ^→ MB + ^→ MC ^→

||

= 3 MC ssi 3 MI = 3 MC ssi MI = MC : l’ensemble des points M cherché est donc la médiatrice de [CI].

Exercice 3

Déterminons, en utilisant l’algorithme d’Euclide, une solution particulière entière de l’équation : 145x+55y=5. On sait qu’une telle solution existe puisque pgcd(145,155) divise 5.

145 = 55×2 + 35 55 = 35×1 + 20 35 = 20×1 + 15 20 = 15×1 + 5

15 = 5×3 + 0 (le pgcd est le dernier reste non nul, ici 5) Remontons ces égalités : 5 = 20 - 15

= 20 - (35-20) = -35 + 2×20

= -35 + 2×(55 – 35) = -3×35 + 2×55

5 = -3×(145 - 55×2) + 2×55 = -3×145 + 8×55