Bac Oral 01

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D. PINEL, Site Mathemitec : http://perso.numericable.fr/~pinedavi/mathemitec/Index.html Source : Académie d’Aix Marseille

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Sujet de Spécialité Mathématiques n°1

Consignes pour le candidat :

• L’épreuve orale dure environ 40 minutes : 20 minutes de préparation suivies de 20 minutes d’exposé.

• Le nombre des exercices varie entre 2 et 4, suivant l’examinateur.

• L’utilisation de la calculatrice peut être autorisée par l’examinateur, mais rien de moins sûr !

Les exercices du sujet suivant constituent une base d’argumentation pour l’entretien : vous préparerez des réponses que vous devrez être capable de justifier (par exemple à l’oral) en précisant les notions de cours indispensables (il est inutile de les rédiger complètement par écrit, comme ci-dessous).

• La démarche et la pertinence des justifications seront valorisées.

• Des questions complémentaires peuvent vous être posées au cours du dialogue.

• N’oubliez pas que l’oral est un oral !! Evitez de rester le nez sur vos notes.

Remarque : en ce qui concerne les élèves de Spé Math, l’examinateur peut très bien ne poser aucun exercice relatif à la spécialité. Il pourra se contenter de poser une question à l’oral ou même rien du tout.

Exercice 1 Soit f, la fonction définie sur par : ^{f x}^{( )} ^{ln(3 e )}^x . 1. Tracer sur la calculatrice la courbe représentative de la fonction f.

2. Quelles conjectures peut-on émettre sur ses asymptotes ? 3. Vérifier que pour tout réel ^{x f x}^{: ( )} ^x ^{ln (1 3e )}^x .

4. En utilisant la forme la plus adaptée de f (x), démontrer chaque conjecture énoncée.

Exercice 2 Dans une entreprise, un quart du personnel a suivi un stage de formation.

On choisit au hasard 10 personnes de cette entreprise et on suppose que l’effectif est suffisamment important pour que ce choix soit assimilé à un tirage avec remise.

Calculer la probabilité, à 10^-4 près, que 4 des personnes choisies aient suivi un stage de formation.

Exercice 3 (spécialité): Vrai ou Faux ?

1. Si deux entiers naturels a et b sont tels qu’il existe un couple (x ;y) d’entiers relatifs vérifiant ax + by = 4 , alors PGCD(a ; b) = 4.

2. Le PPCM de deux entiers naturels pairs non nuls est toujours différent de leur produit.

3. Pour tout entier naturel n, ⁿ ⁴divise 2n² 7n 4. Les prolongements possibles : exercice 1 : les variations de f .

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Corrigé - Sujet Spé n°1

Exercice 1 Soit f, la fonction définie sur par :f x( ) ln(3 e )^x .

1. Voici la courbe représentative C de la fonction f sur l’intervalle [-8 ;8].

2. Graphiquement, il semble que la droite horizontale d’équation y = 1 soit asymptote à C en -∞ et que la droite d’équation y = x soit asymptote à C en +∞.

3. Vérifions que pour tout réel ^{x f x}^{: ( )} ^x ^{ln (1 3e )}^x .

Comme pour tout x, on a ^x⁼^ln

( )

^e^x ^{, on a} ^{f x}^{( ) ln}⁼

( ) (

^e^x ⁺^{ln 1 3}⁺ ^e⁻^x

)

⁼^ln

(

^e^x

(

^{1 3}⁺ ^e⁻^x

) )

⁼^ln

(

^e^x⁺³

)

^{(la 2}^ème égalité provient du fait que ln(ab) = ln(a) + ln(b) pour tout a, b>0 et la dernière, du fait que e^x×e⁻^x =e^{x x}⁻ =e⁰ =1.

On retrouve bien l’expression de f(x) pour tout réel x.

4. Démonstration des conjectures.

Rappelons que la droite D : y = ax + b est asymptote (non verticale) à C en l’infini ssi ^lim_x_→∞

(

^{f x}^{( )}⁻

(

^{ax b}⁺

) )

⁼⁰^.

• L’expression précédente est pratique pour une étude en +∞ : comme lim ^x 0

x e⁻

→+∞ = , on a _x^{lim ln 1 3}_→+∞

(

⁺ ^e⁻^x

)

⁼^{ln(1) 0}⁼

donc _x^lim_→+∞

(

^{f x}^{( )}⁻^x

)

⁼_x^{lim ln 1 3}_→+∞

(

⁺ ^e⁻^x

)

⁼⁰^.

La seconde conjecture est donc vraie.

• L’expression initiale est adaptée pour une étude en -∞ : en effet, lim ^x 0

x e

→−∞ = donc _x^{lim ln 3}_→−∞

(

⁺^e^x

)

⁼^ln(3)^.

La première conjecture est donc fausse : cependant, vu que ln 3 1≈ , la lecture graphique est cohérente avec ce calcul.

Exercice 2

Calculer la probabilité, à 10^-4 près, que 4 des personnes choisies aient suivi un stage de formation.

Si X désigne la variable aléatoire égale au nombre de personnes qui ont suivi un stage de formation, X sui une loi binomiale de paramètres n = 10 et ¹ 0.25

p= =4 .

D’après le cours, on sait alors que ^{p X}

(

⁼⁴

)

⁼ ¹⁰₄ ^0.25⁴^×^0.75⁶ ^≈^0.1460arrondi à 10^-4.

2 3 4 5 6 7

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

2 3 4 5 6 7 8

-1

0 1

1

x y

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3

Exercice 3

1. Si deux entiers naturels a et b sont tels qu’il existe un couple (x ;y) d’entiers relatifs vérifiant ax + by = 4 , alors PGCD(a ; b) = 4.

FAUX : on peut seulement affirmer que le PGCD(a ; b) = 4 divise 4.

En effet, si m = PGCD(a ; b), m divise la combinaison linéaire ax + by donc m divise 4.

Par contre, vu que 2 7 2 5 4× − × = alors que PGCD(7 ; 5) = 1, on constate que la réciproque est fausse.

2. Le PPCM de deux entiers naturels pairs non nuls est toujours différent de leur produit.

VRAI : la relation ^p^{gcd( , )}^{a b} ×^{ppcm a b}^{( , )}= ×^{a b} implique que ppcm a b( , )= × ⇔a b pgcd( , ) 1a b = : le résultat en découle puisque deux entiers pairs ont un pgcd au moins égal à 2.

3. Pour tout entier naturel n, ⁿ ⁴divise 2n² 7n 4.

FAUX : pour n = 4, ²ⁿ² ⁷ⁿ ⁴ = 14 ≠0 donc le polynôme n - 4 ne divise pas le trinôme 2n² 7n 4.