Bac Oral 08

D. PINEL, Site Mathemitec : http://perso.numericable.fr/~pinedavi/mathemitec/Index.html 1

Exercice 1

Soit la fonction f définie par : ( ) ⁵

² 5 6

f x x

x x

= −

− + sur I = ]3;+∞[. 1. Déterminer deux réels a et b tels que f(x) =

2 3

a b

x +x

− − .

2. En déduire une primitive de f sur I.

Exercice 2

Soient A(-1+2i), B(-2-i), C(1-2i) et D(2+i) quatre points du plan complexe.

Déterminer la nature du quadrilatère ABCD.

Sujet n°8

Consignes pour le candidat :

• L’épreuve orale dure environ 40 minutes : 20 minutes de préparation suivies de 20 minutes d’exposé.

• Le nombre des exercices varie entre 2 et 4, suivant l’examinateur.

• L’utilisation de la calculatrice peut être autorisée par l’examinateur, mais rien de moins sûr !

Les exercices du sujet suivant constituent une base d’argumentation pour l’entretien : vous préparerez des réponses que vous devrez être capable de justifier (par exemple à l’oral) en précisant les notions de cours indispensables (il est inutile de les rédiger complètement par écrit, comme ci-dessous).

• La démarche et la pertinence des justifications seront valorisées.

• Des questions complémentaires peuvent vous être posées au cours du dialogue.

• N’oubliez pas que l’oral est un oral !! Evitez de rester le nez sur vos notes.

D. PINEL, Site Mathemitec : http://perso.numericable.fr/~pinedavi/mathemitec/Index.html 2 Corrigé - Sujet n°8

Exercice 1 Soit la fonction f définie par : ^{( ) 5}

² 5 6

f x x

x x

= −

− + sur I = ]3;+∞[.

1. Pour tout x, on a

( ) ( )

( )( ) ( )

2 3 2

3 2 3 2

2 3 5 6

a b

x x

a x b x x a b a b

x x x x

− + −

− + − + − −

= =

− − − + .

En identifiant avec l’expression de f, on obtient : ^{1 3}

3 2 5 2

a b a

a b b

+ = =

− − = − ⇔ = − . Ainsi, sur I, on a ( ) ⁵

² 5 6

3 2

2 3

f x x

x x x x

= −

− + = −

− − . 2. Une primitive de x ¹

x a+ est ^{x ln}

(

^{x a+}

)

donc une primitive de f sur I est ^{F x( ) 3ln=}

(

^{x− −2}

)

^{2 ln}

(

^x−3

)

^.

Exercice 2

Il semble que le quadrilatère ABCD soit un carré.

→ Pour vérifier si c’est la cas, on peut vérifier que le point A est l’image du point C par la rotation de centre B et d’angle

2

π ET que ^{BC AD=} (on ne pourrait raisonner qu’avec les vecteurs, c’est d’ailleurs plus simple…).

→ Rappelons que l’écriture complexe d’une telle rotation est

( ) ( )

' _B ⁱ2 _B ' _{B B}

z z e z z z z i z z

π

− = − ⇔ − = − où z’ est l’affixe de M’ image de M(z) par la rotation.

A est l’image de C SSI on a zA−zB =i z

(

C−zB

)

. Calculons donc ces deux termes :

( )

1 2 2 1 3

A B

z −z = − + − − − = +i i i et i z

(

C −zB

)

=i

(

^{1 2}− − − −i

(

² i

) )

=i

(

³− = +i

)

^{1 3}i d’où l’égalité cherchée.

→ Pour vérifier que BC AD= , on compare les affixes des 2 vecteurs.

C B 3

zBC =z −z = −i et z_AD =z_D−z_A= = −... 3 i d’où l’égalité cherchée.

Ce quadrilatère est bien un carré.

1 1 A

B

C D