Partie II.

MPSI B 2009-2010 Corrigé du DM 7 29 juin 2019

Partie I.

1. Le calcul des coordonnées demandées ne pose pas de problème particulier, on trouve

A(M) : (x,cosαy)

H(M) :

2 sinαx, 2

sinαy

F(M) :

2

sinαx,2 cosα sinα y

La transformation A est une anité orthogonale d'axe (Ox) et de rapport cosα. La transformationH est une homothétie de centreO et de rapport 2

sinα.

2. NotonsEl'image deCpar la transformationF. Un pointM de coordonnées(x, y)ap- partient àEsi et seulement si son antécédent parF appartient àC. Or les coordonnées de cet antécédent sont :

sinα

2 x, sinα 2 cosαy

On en déduit : M ∈ E ⇔

sinα 2 x

2

+

sinα 2 cosαy

2

= 1

4 ⇔ x² 1 sin²α

+ y² cos²α sin²α

= 1

Il s'agit de l'équation réduite d'une ellipse d'axe focal (Ox) (car |cosα < 1|). La distance centre-sommet est a = _sin¹_α. Le demi petit-axe est b = ^cos_sinα^α. La distance centre-foyer estc= 1car

c²=a²−b²= 1−cos²α sin²α = 1 Les foyers sont les points de coordonnées(−1,0)et(1,0).

Partie II.

Les pointsI, J,K sont placés sur la gure1.

I J

K C

O

Fig. 1: PointsI,J,K.

1. On connait l'expression algébrique des parties réelles et imaginaires dej. On en déduit les équations des droites puis l'expression des distances à ces droites.

(IJ) :x−1 +√ 3y= 0 (IK) :x−1−√

3y= 0 (J K) :x+1

2 = 0

d(M,(IJ)) = |x+√ 3y−1|

2 d(M,(IK)) = |x−√ 3y−1|

2 d(M,(J K)) =|x−1 2| 2. Par dénition, C est le cercle de centre O et de rayon ¹₂. D'après les formules précé-

dentes :

d(O,(IJ)) =d(O,(IK)) =d(O(J K)) = 1 2

Les trois droites sont donc tangentes àC. Comme les pointsI,J,K sont sur le cercle de centreOet de rayon1, chaque médiatrice est en fait la normale au cercle. Les points de contacts sont donc les milieux des segments.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai M0907C

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3. Quand on transforme la gure par l'anitéF, le cercleCdevient l'ellipseE, les points I, J, K deviennent respectivement U, V,W. La tangence est conservée, la propriété des milieux est conservée donc chaque segment [U, V], [V, W], [W, U] est tangent en son milieu à l'ellipseE. Voir gure2.

I U J

K V

W E

Fig. 2: PointsI,J,K.

Partie III.

1. En utilisantsinα= 2 sin^α₂ cos^α₂ et la dénition def, on obtient directement la formule demandée

f(z) = 2 cos^2α₂

sinα z+2 sin^2α₂

sinα z= cos^α₂

sin^α₂z+ sin^α₂

cos^α₂z= z

tan^α₂ +ztanα 2 2. En utilisant les relations précédentes :

u+v+w=f(1) +f(j) +j(j²) = 1

tan^α₂(1 +j+j²) + tanα

2(1 +j+j²) = 0 On remplacef(1), f(j),f(j²)par les expressions de la question 1. puis on développe

(avecj³= 1) :

uv+uw+vw= j

tan^2α₂ +j+j²

| {z }

=−1

+j²tan²α 2 + j²

tan^2α₂ +j+j²

| {z }

=−1

+jtan²α 2

+ 1

tan^2α₂ +j+j²

| {z }

=−1

+ tan²α 2 =−3 en utilisant1 +j+j²= 0en facteur devant lestanet les inverses destan..

3. On peut exprimer les coecients du polynoe en fonction des racines :

P(x) = (x−u)(x−v)(x−w) =x³−(u+v+w)x²+(uv+uw+vw)x−uvw=x³−3x−uvw On en déduit que les racines deP⁰ sont1 et−1car

P⁰(x) = 3x²−3 = 3(x−1)(x+ 1)

Partie IV.

1. Par dénition,(z0, z1, z2)vérie(∗)si et seulement si (z1+z2=−z0

z₁z₂=−3−z₀(z₁+z₂) ⇔

(z1+z2=−z0

z₁z₂=−3 +z²₀ si et seulement siz1et z2sont les racines de l'équation d'inconnuez

z²+z₀z+ (−3 +z₀²) = 0

2. Siz0= 4, l'équation de la n de la question précédente devient z²+ 4z+ 13 = 0. Ses racines sont−2 + 3iet−2−3i. Comme

cos^α₂

sin^α₂ +sin^α₂ cos^α₂ = 2

sinα

La relationu=f(1)conduit àsinα=¹₂. On choisitα= ^π₆. On en déduit : f(z) = 4 Rez+i2√

3 Imz u=f(j) =−2 + 3i

v=f(j²) =−2−3i

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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