Exercice : crible de Poincaré

MPSI B DS 04 29 juin 2019

Exercice : crible de Poincaré

SoitE un ensemble ni. SiB est une partie deE, on notef_B la fonction caractéristique de la partieB. C'est la fonction deE dans{0,1} dénie par :

x7→fB(x) =

0 si x6∈B 1 si x∈B

Soit n ≥ 2 un entier xé et B1, B2,· · · , Bn des parties de E. Pour toute partie I de {1,· · ·, n}, on note

BI =\

i∈I

B1

1. a. SoitB une partie deE, préciser la somme X

x∈E

fB(x)

b. Préciser la fonction dénie dansE par : x7→1−fB(x)

c. SoitIune partie de{1,· · · , n}etB1,· · ·, Bndes parties deE, préciser la fonction dansE par :

x7→Y

i∈I

fB_i(x) 2. On considère une familleA1, A2,· · ·, An de parties deE.

a. ExprimerA1∪ · · · ∪An comme le complémentaire d'une intersection.

b. En déduire directement (sans récurrence) la formule du crible de Poincaré.

](A1∪ · · · ∪An) =

n

X

p=1

(−1)^p−1 X

I∈Pp

]\

i∈I

Ai

où]Bdésigne le nombre d'éléments deBetPpl'ensemble des parties àpéléments de{1,· · · , n}(on pourra développer un produit).

3. Applications.

a. Déterminer le nombre d'applications non surjectives d'un ensemble àpéléments dans un ensemble ànéléments.

b. Déterminer le nombre de permutations (bijection d'un ensemble ni dans lui même) d'un ensemble ànéléments ayant au moins un point xe.

Problème : coniques

Dans un plan euclidien orienté muni d'un repère orthonormé (O,−→ i ,−→

j), on considère l'ellipseE d'équation

x² a² +y²

b² = 1

Les foyersF1etF2ont respectivement pour coordonnées(c,0),(−c,0). Les sommetsA1et A2 ont respectivement pour coordonnées(a,0),(−a,0).

Pour toutd∈]−a, a[, la droite d'équationx=dcoupeE en deux pointsM1 (d'ordonnée positive) etM2 (d'ordonnée négative).

A

A

M

M

Fig. 1: Droites A₁M₁ etA₂M₂. 1. a. Former les équations des droites(A1, M1)et (A2, M2).

Pour quelsddans]−a, a[ces droites se coupent-elles ? Calculer en fonction ded les coordonnées du point d'intersection lorsqu'il existe.

b. Former l'équation cartésienne de l'ensemble de ces points d'intersection. Quelle est cette courbe ? La dessiner en précisant le sens de parcours quand d décrit ]−a, a[de−aversa.

Fig. 2: Quelques cerclesΓd.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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1 Rémy Nicolai S0404E

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2. Pourddans]−a, a[, on noteΓd le cercle de diamètreM1M2. a. Écrire l'équation deΓd.

b. SoitM₀un point de coordonnées(x₀, y₀). Discuter suivant la position deM₀dans le plan du nombre de cerclesΓ_d passant parM₀.

M

M

Fig. 3: CercleCd.

3. Pourddans]−a, a[, soitCd le cercle tangent à l'ellipse enM1 etM2. En ces points, le cercle et l'ellipse ont le même tangente (g :3).

a. Déterminer les coordonnées de son centreω. b. Montrer que son rayon vérie

r²=−b² c²(−−→

ωF1/−−→

ωF2)

Fig. 4: Quelques cerclesCd. Cas 1.

4. Dans cette question, on cherche à discuter du nombre de cercles Cd passant par un pointM0 xé de coordonnéesx0et y0. On note

f_M0(d) =d²−2x₀d+a²

c²(x²₀+y²₀−b²) a. Montrer queM₀∈C_d si et seulement sif_M0(d) = 0.

Fig. 5: Quelques cerclesC_d. Cas 2.

b. Montrer que les pointsM0par lesquels passe au moins un cercle Cd sont dans le disque elliptique c'est à dire la portion de plan délimitée par l'ellipseE.

c. Exprimer, en fonction de aetb, des réelsuetv tels que f_M0(a) =a²

c² (x₀−u)²+y²₀−v

d. Montrer que parM0 passent deux cerclesCd₁ et Cd₂ distincts si et seulement si M0 est à dans le disque elliptique et à l'extérieur de deux disques tangents enA1

etA2 que l'on déterminera.

e. En distinguant deux congurations (gures ?? et ??) suivant une condition à préciser liantaetb, discuter du nombre de cercles passant par un pointM0. 5. Déterminer l'ensemble des pointsM0 tels que la tangente enM0 à l'un des cerclesCd

passant parM0soit parallèle àA1A2.

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