CORRECTION DES EXERCICES 2 ET 3 DE LA FICHE A FAIRE POUR LE LUNDI 11 MAI

(1)

CORRECTION DES EXERCICES 2 ET 3 DE LA FICHE A FAIRE POUR LE LUNDI 11 MAI

Exercice 2 1.

a.

| |

a



 2 2

2



 2 2

2

1 1 Soit un argum ent de a.

cos( ) 2

2 et sin( ) 2

2 donc 3 4 La forme exponentielle de a est a 1eⁱ

3 4

b. f(a) a 1 a eⁱ

3

4 e ⁱ

3

4 cos

 3

4 isin

 3

4 cos

 3

4 isin

 3

4 f(a) 2

2 i 2

2 2

2 i 2

2 2.

La forme algébrique de f(a) est 2. 2. f(z) 1  z 1

z 1  z² 1

z 1  z² 1 z et z  0  z² z 1 0 et z  0 3 0 donc le trinôme a deux racines complexes conjuguées qui sont z1

1 i 3 2 et z2

1 i 3 2

Les solutions de l équation f(z) 1 sont 1 i 3

2 et 1 i 3 2

3. Soit M un point d’affixe z du cercle de centre O et de rayon 1.

a. M est un point de donc OM 1, c'est-à-dire

| |

^z 1. Ainsi, z eⁱ avec un nombre réel.

b.

Méthode 1.

f(z) z 1

z eⁱ 1

eⁱ eⁱ e ⁱ cos( ) isin( ) cos( ) isin( )

f(z) cos( ) isin( ) cos( ) isin( ) car cos( ) cos( ) et sin( ) sin( ).

f(z) 2cos( ) donc f(z) est un nombre réel.

Méthode 2.

f(z) z 1

z eⁱ 1

eⁱ eⁱ e ⁱ eⁱ eⁱ 2Re eⁱ ( z z 2Re(z) d après le premier chapitre sur les complexes).

Donc f(z) est un nombre réel.

4. On pos e z a ib où a et b sont des réels.

f(z) z 1

z a ib 1

a ib a ib a i b

(a i b)(a ib) a ib a i b a² b² f(z) (a i b)(a² b²) a i b

a² b²

a³ a²ib ab² ib³ a ib a² b²

a(a² b² 1)

a² b² ib(a² b² 1) a² b² f(z) ssi b(a² b² 1)

a² b² 0 f(z) ssi b(a² b² 1) 0 et z0 f(z) ssi (b 0 ou a² b² 1) et z0 f(z) ssi (b 0 et z0) ou (a² b² 1)

L ensem bl e des poi nt s d affixe a ib tels que b 0 est l axe des abscisses.

a² b² 1  (a 0)² (b 0)² 1² : équation du cercle de centre O et de rayon 1.

(2)

L ensemble cherché est la réunion de l axe des abscisses privé de l origine (car z0) et du cercle de centre O et de rayon 1.

Exercice 3 1. z z 

1 1



 z

z z  (z 1) z(z 1) et z≠ 1  z² 1  z i ou z i.

f admet deux points invariants qui sont les points d affixes i et i. 2.

On admet que, pour tout nombre complexe z différent de 1, (z′–1)(z 1) 2.

a.

|

^(z ^1)(z ¹⁾

|

^{2 donc}

|

^z ¹

| |

^z ¹

|

^2.

arg((z 1)(z 1)) ar g( 2) donc arg(z 1) arg(z 1) .

b.

|

^z ¹

| |

^z ^a

|

^AM ^et

|

^z ¹

| |

^z ^b

|

^BM. On a donc AM BM 2.

arg(z 1) arg(z a)

(

^{u AM}

)

^{et arg(}^z ¹⁾ ^{ar g}⁽^z ^b)

(

^u ^BM

)

^.

On a donc

(

^{u AM}

) (

^{u BM}

)

c. Si M appartient à (C), alors BM 2 et donc AM 2 2, c'est-à-dire AM′ 1.

Alors M′ appartient au cercle (C’) de centre A et de rayon 1.

3. Soit D la perpendiculaire à l axe des abscisses passant par A et la perpendiculaire à l axe des abscisses passant par B.

Soit M un point de .

a. B est un point de l axe des abscisses et M un point de donc

(

u BM

)

a pour mesure 2 ou 2 .

Or, on a prouvé que

(

u AM

) (

u BM

)

et donc

(

u AM

) (

u BM

)

. Ainsi,

(

^{u AM}

)

a pour mesure

2 ou 3 2 .

b. (AM ) est donc perpendiculaire à l axe des abscisses : M est un point de D.