CORRECTION DES EXERCICES 12 ET 47 A FAIRE POUR LE LUNDI 25 MAI

(1)

CORRECTION DES EXERCICES 12 ET 47 A FAIRE POUR LE LUNDI 25 MAI

12 page 415.

On c ho is it u n pa mp le mo us se a u has ard.

So it X la variable aléatoire correspondant au diamètre du pamplemousse. X suit la loi N (12 3²) .

La variable aléatoire n est pas définie dans l énoncé donc on doit le faire et préciser sa loi en n oubliant pas le carré sur l écart-type.

La courbe de la fonction de densité de X est symétrique par rapport à la droite d équation x 12.

a. L aire de la partie hachurée est 0,5 (car l aire sous la courbe est 1).

P( X 11) 0,5 P(11 X 2) 0,5 0,131

do nc P( X 11) 0, 36 9 : la probabilité que le diamètre soit inférieur à 11 cm est 0,369 : 36,9% des pamplemousses ont un diamètre inférieur à 11cm.

b. P(11 X 14) 0,378 : la probabilité que le diamètre soit entre 11 et 14cm est 0,378 : 37,8%

des pamplemousses ont un diamètre entre11 et 14cm.

c.

Méthod e 1 :

P( X 14) 0,5 P(1 2 X 14) 0,5 0, 24 8

do nc P( X 14) 0, 252 : la probabilité que le diamètre soit de plus de 14cm est 0,252 : 25,2% des pamplemousses ont un diamètre supérieur à 14cm.

Méthod e 2 :

Tous les pamplemousses ont un diamètre soit inférieur à 11cm, soit entre 11 et 14cm, soit supérieur à 14cm. Alors P(X>14)=1-P(X<11)-P(11<X<14)

P(X>14) 1-0,369-0,378 P( X 14) 0,253

La d iffére nce de ré su lt at ent re les d eu x mét ho des vie nt des erreur s d arro nd is.

47 page 426.

L suit la loi N (12 0,2²).

1. Un clou n est pas défectueux si sa longueur est comprise entre 11,5 et 12,5.

D après la calculatrice, P(11,5 L 12,5) 0,986 : la probabilité qu un clou ne soit pas défectueux est environ 0,986.

Alors la probabilité qu un clou soit défectueux est environ 1 0,986 0,014.

1,4% des clous sont défectueux.

2. Dans cette question, le clou pris au hasard est défectueux, on le sait. Il faut donc calculer une probabilité conditionnelle.

Soit D l événement "le clou est défectueux".

On cherche P

D

( L 11,5)

P

D

( L 11,5) P( D (L 11,5)) P( D)

D (L 11,5) est l événement "le clou est défectueux ET il mesure moins de 11,5cm". C est donc l événement "le clou mesure moins de 11,5cm" car tous les clous de moins de 11,5cm sont

défectueux.

Ainsi, P

D

( L 11,5) P (L 11,5) P( D)

Sur le graphique ci-dessous, par symétrie, les aires des parties roses et jaunes sont égales.

(2)

D après la question 1, la somme de leurs aires est 0,014. P( L 11,5) est l aire de la partie rose et P( D) est l aire des parties roses et jaunes réunies.

CORRECTION DES EXERCICES 12 ET 47 A FAIRE POUR LE LUNDI 25 MAI

CORRECTION DES EXERCICES 12 ET 47 A FAIRE POUR LE LUNDI 25 MAI

12 page 415.

On c ho is it u n pa mp le mo us se a u has ard.

So it X la variable aléatoire correspondant au diamètre du pamplemousse. X suit la loi N (12 3²) .

La variable aléatoire n est pas définie dans l énoncé donc on doit le faire et préciser sa loi en n oubliant pas le carré sur l écart-type.

La courbe de la fonction de densité de X est symétrique par rapport à la droite d équation x 12.

a. L aire de la partie hachurée est 0,5 (car l aire sous la courbe est 1).

P( X 11) 0,5 P(11 X 2) 0,5 0,131

do nc P( X 11) 0, 36 9 : la probabilité que le diamètre soit inférieur à 11 cm est 0,369 : 36,9% des pamplemousses ont un diamètre inférieur à 11cm.

b. P(11 X 14) 0,378 : la probabilité que le diamètre soit entre 11 et 14cm est 0,378 : 37,8%

des pamplemousses ont un diamètre entre11 et 14cm.

c.

Méthod e 1 :

P( X 14) 0,5 P(1 2 X 14) 0,5 0, 24 8

do nc P( X 14) 0, 252 : la probabilité que le diamètre soit de plus de 14cm est 0,252 : 25,2% des pamplemousses ont un diamètre supérieur à 14cm.

Méthod e 2 :

Tous les pamplemousses ont un diamètre soit inférieur à 11cm, soit entre 11 et 14cm, soit supérieur à 14cm. Alors P(X>14)=1-P(X<11)-P(11<X<14)

P(X>14) 1-0,369-0,378 P( X 14) 0,253

La d iffére nce de ré su lt at ent re les d eu x mét ho des vie nt des erreur s d arro nd is.

47 page 426.

L suit la loi N (12 0,2²).

1. Un clou n est pas défectueux si sa longueur est comprise entre 11,5 et 12,5.

D après la calculatrice, P(11,5 L 12,5) 0,986 : la probabilité qu un clou ne soit pas défectueux est environ 0,986.

Alors la probabilité qu un clou soit défectueux est environ 1 0,986 0,014.

1,4% des clous sont défectueux.

2. Dans cette question, le clou pris au hasard est défectueux, on le sait. Il faut donc calculer une probabilité conditionnelle.

Soit D l événement "le clou est défectueux".

On cherche P

( L 11,5)

P

( L 11,5) P( D (L 11,5)) P( D)

D (L 11,5) est l événement "le clou est défectueux ET il mesure moins de 11,5cm". C est donc l événement "le clou mesure moins de 11,5cm" car tous les clous de moins de 11,5cm sont

défectueux.

Ainsi, P

( L 11,5) P (L 11,5) P( D)

Sur le graphique ci-dessous, par symétrie, les aires des parties roses et jaunes sont égales.

D après la question 1, la somme de leurs aires est 0,014. P( L 11,5) est l aire de la partie rose et P( D) est l aire des parties roses et jaunes réunies.

Ainsi, P

( L 11,5) 1 2 P( D)

P( D) 1 2 .

La probabilité qu un clou défectueux mesure moins de 11,5cm est 1

2 .