() CORRECTION DU TRAVAIL POUR CEUX QUI VEULENT CONTINUER LES MATHS A FAIRE POUR LE LUNDI 25 MAI

CORRECTION DU TRAVAIL POUR CEUX QUI VEULENT CONTINUER LES MATHS A FAIRE POUR LE LUNDI 25 MAI

7 page 414.

Soit Z une variable aléatoire suivant la loi N(0 1).

On cherche le réel u tel que P( u Z u) 1 0, 4 0,6.

On va utiliser la commande InvN de la calculatrice. Pour cela, il faut trouver P(Z u).

Par symétrie, P(Z u) 1 0,6

2 0,2

A la calculatrice, on obtient alors u 0,84 et donc u 0,84.

pour tout n de *, on pose un 1111… avec n chiffres 1. Montrer que un

10ⁿ 1 9 . La forme 10ⁿ 1

9 nous fait penser à la somme des termes d une suite géométrique. Essayons de comprendre sur les premiers termes.

u1 1

u2 11 1 10 1 10¹

u3 111 1 10 100 1 10 10²

u4 1111 1 10 100 1000 1 10 10² 10³ Soit n *. un 1 10 10² … 10^{n 1}

Alors un

1 10^{n 1 1} 1 10

1 10ⁿ 9

10ⁿ 1 9 .

X est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre . Déterminer pour que P(1 X 2) soit maximale.

Soit un réel strictement positif et X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre . P(1 X 2) 

1

2 e ^tdt



 e ^t

1 2

e ² e

On cherche quand cette expression est maximale. Pour cela, on définit une fonction dont on va chercher le maximum.

Soit f la fonction définie sur ]0 [ par f(x) e ^x e ^2x. Pour déterminer le maximum de f, on cherche ses variations.

f est dérivable sur +*. Pour tout x 0, f (x) e ^x 2e ^2x e ^x

(

)

On cherche le signe de f (x) :

Signe de 1 2e ^x : 1 2e ^x 0  e ^x 1

2  x ln



 1

2  x ln(2) De même, 1 2e ^x 0  x ln(2)

On a donc le tableau :

x 0 ln(2) e ^x

1 2e ^x f (x)

f(x)

P(1 X 2) est maximale pour ln(2).