A ombien estimez-vous lenombre d'insription en 2020 4

DEVOIR DE SYNTH`ESE # 2 LYC´EECHEBBI

2016/2017

MATH´EMATIQUES

PR : SOLTANI MOHSEN

Le sujet comporte³pages num´erot´es de¹ `a³ Une copie non soign´ee sera sanctionn´ee.

Exercice1

.( 3 points)

Une base de donnees d'un site de disussion ontient les dates d'insriptions des utilisateurs. Nous avons

note depuis2010 lenombre d'insriptions en milliers par annee .

l'annee 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016

Rang del'anneex 1 2 3 4 5 6 7

Nombre d'insriptionsy 5 6.5 8.5 10 12 13.5 14.5

1. Caluler le oeÆient de orrelationlineaireentrex et y. un ajustementaÆne est-il justie.

2. Determinerune equationde la droite de regressionde y en x.

3. A ombien estimez-vous lenombre d'insription en 2020

4. Quand estimez-vous que le nombre d'insriptions annuel depasseraun million.

Exercice2

.( 4 points)

L'espae E est rapporteaun repereorthonormediret (O;

−

→

i ;

−

→

j ;

−

→

k).

On donne Les points A(0;0;1); B(1;0;2) etC(4;1;−³⁾

1. Montrer que les points A;B et C determinentun plan P dont une equationartesienneest :

P :x−^8y−^{z+1 =0.}

2. Soit K(4;0;1),Montrer que KABC estun tetraedre puis aluler son volume.

3. Soit Q le plan dont une equationartesienneest x+z−¹⁼⁰

(a) Montrer que P et Q sont seantssuivant une droite que l'on araterisera.

(b) Caluler la distane de K ala droite .

4. Soit S:=‚M(x;y;z)∈^E;x2+y2+z2−^{2x+2z+1 =0ƒ.}

(a) Montrer que S est une spherede entre(1;0;−^{1).Preiser son rayon R.}

(b) Montrer que S∩^{Q estun erle dont on preiserale entreet le rayon r.}

Exercice3

.( 4 points)

Soit (u

n

) la suitedeniesur N ^{par :}

(

u

0

=

u

n+1

= 5u

n +4

4u

n +5

;∀ⁿ ∈N

1. Determinerles valeurs pour lesquelles (u

n

) est onstante.

Dans la suite, on prend u

0

=0

TROISIEME` MATHS 1

2. Montrer par reurreneque 0 ≤^un ≤¹ ∀ⁿ ∈N^.

3. Montrer que (u

n

) est roissante.

4. Soit lasuite (V

n

) deniesur N ^{par Vn = 1}−^un

1+u

n .

(a) Montrer que (V

n

) estune suitegeometrique que l'on araterisera.

(b) Exprimer V

n puis u

n

en fontion de n.

() Determiner lim

n→+

V

n

puis lim

n→+

u

n

Exercice4

.( 4 points)

Un atelier produitdes piees dont ertaines defetueuses a ause de deux defauts possibles, le defaut A et

le defaut B , a l'exlusion de tout autre defaut.On a onstate que, parmi les piees produites ,28% ont le

defaut A,27% ontle defaut B et 10% ont lesdeux defauts.

On note : D

1

:"la piee a un seul defaut". D

2

:"la piee adeux defauts"

1. On hoisitau hasard une des piees produites.

(a) Quelle estla probabilite de tomber surune piee defetueuse?

(b) Quelle estla probabilite de tomber surune piee qui presente seulementle defaut A ?

() Quelle estla probabilite de tomber surune piee qui presente un seul defaut ?

(d) Quelle estla probabilite de tomber surune piee qui ne presente auun de deuxdefauts?

2. On note R:"la piee estreparable ", eton donnep(R) =0:32.

On hoisitau hasard et de maniereindependante 5 piees.

Montrer que la probabilite pour qu'au moins une piee soitreparable est p =1−^(0:68)5.

Exercice5

.( 5 points)

Soit f la fontion denie sur [−^{2;2℄par : f(x)=} √

1− ^x4²

. On note (C

f

) sa ourbe representativedans

le plan rapportearepereorthonorme(O;

−

→

i ;

−

→

j ).

1. (a) Montrer que f estderivablesur℄−^2;2[.

(b) Caluler f

′

(x) pourx ∈^℄−^2;2[.

2. Soit a un reelde l'intervalle ℄0:2[.

On note H etK les points de oordonnees respetives ( 4

a

;0) et (0;

1

f(a) ).

(a) Montrer que (HK) esttangente a(C

f

) au point d'absisse a.

(b) On donne dans la feuille annexe , la ourbe (C

f

) , la ourbe (C

0

) d'equationy = 1

x et a

un reelarbitraire plaesurl'axe des absisses.

Construire la tangente a(C

f

) au point d'absisse a.

3. Construire sur le m^emereperela ourbe (C

1 ) =S

(O;

−

→

i ) (C

f ).

4. On note C^′ =(C

f

)∪^(C1)

(a) Montrer qu'une equationartesiennede (C^′) est : x

2

4 +y

2

=1.

(b) Soit F(

√

3;0)et :x =

√4 3

, M

0

un point de (C^′) d'absisse x 0

>0. On note H le projete

orthogonal de M

0

sur .

Montrer que M

0 F

M

0 H

=

√

3

2 .

TROISIEME` MATHS 2

FEUILLE ANNEXE

NOM ET PR´ENOM ...

−² −^{1 1 2 3}

−³

−²

−¹

1 2 3

f(a)

a

x y

C

f

C

0

TROISIEME` MATHS 3