Séance du Mercredi 01 Avril 2020
ALGEBRE
Prof : M. Redouaby
Voir Vidéo correspondante
Exercice
Ø Montrer que les vecteurs : et
Forment une base de . Donner les coordonnées du vecteur dans cette nouvelle base
) 1 , 1 ,
1 ( -
1 =
u u
3 =( - 1 , 1 , 1 )
IR
3) , ,
( x y z
u
=) 1 ,
1 , 1
( -
1 =
u
Î 3
= ( x , y , z )
u
3 2
1
u u
u 2
z y
2 z x
2 y x
÷÷
÷÷ ø ö
çç çç è æ
÷÷
÷÷ ø ö
çç çç è æ
÷÷
÷÷ ø ö
çç çç è
æ
+ + + + +
=
Ecriture du vecteur u dans la base B’ = (u
1, u
2, u
3)
Coordonnées du vecteur u dans la base
B’
Coordonnées par rapport à la base canonique
L’espace vectoriel considéré est :
Ø est la base canonique :
,
Les coordonnées du vecteur dans la base
B
sontx
ety
:IR
2ïþ ïý ü ïî
ïí
=
ì1
, e
2B e
) ,
( x y u =
2 1 ye xe
u = +
) 0 , 1
= (
e
1e
2= ( 0 , 1 )
Représentation graphique
e1
e2
y) (x, u =
x y
IR
2Le plan vectoriel
L’espace vectoriel considéré est :
Ø est la base canonique :
Les coordonnées du vecteur dans la base
B
sont x, y et z :IR 3
ïþ ïý ü ïî
ïí
=
ì2 3 1
e e e , ,
B
) z , y , x ( u =
3 2
1 ye ze
xe
u = + +
Coordonnées par rapport à
la base canonique
Représentation graphique
e1
e3 u = (x, y, z) x
y
IR
3L’espace vectoriel
e2
z
Théorème fondamental
Soit E un espace vectoriel sur IR, non réduit au vecteur nul.
Ø E admet une infinité de bases
Ø Toutes les bases de E ont le même nombre de vecteurs. Ce nombre commun à toutes les bases de E est appelé DIMENSION de l’espace vectoriel E, et on note :
dim
EExemple
Ø Toutes les bases de contiennent
2
vecteurs :
dim = 2
IR 3
IR 3
Ø Toutes les bases de contiennent
3
vecteurs :
dim = 3
IR
2IR
2D’une manière générale
Ø Toutes les bases de
IR
n contiennentn
vecteurs :
dim IR
n =n
La base canonique de
IR
n est la famille constituée par les vecteurs suivants :, ,...,
) 0 ,..., 0
, 1
=
(
e
1e
2 =( 0 , 1 , 0 ,..., 0 ) e
n =( 0 ,..., 0 , 1 )
En effet
Ø Soit u=(x1,x2,...,xn) un vecteur quelconque de
IR
n , on a :L’écriture est unique
Ø
x
1,x
2 ,...,x
n sont les coordonnées du vecteuru
dans la base canoniquen 2 n
2 1
1
e x e x e
x
u = + + ... +
Question
Ø Soit
E
un espace vectoriel réel donné.Comment déterminer la dimension de
E
?Réponse
Ø Il suffit d’avoir une base de
E
.le nombre de ses vecteurs est la dimension de
E
A. Sous-espaces vectoriels
Théorème 1 :
et sont deux sous-espaces vectoriels d’un espaec vectoriel réel
E
alors est un sous-espace vectoriel deE
F
1F
22
1
F
F Ç
6. Théorèmes de base
A. Sous-espaces vectoriels
Théorème 2 :
et sont deux sous-espaces vectoriels d’un espaec vectoriel réel
E
alors est un sous-espace vectoriel deE
F
1F
22 1
F F +
ïþ ïý ü ïî
ïí
ì
+ Î Î
=
+
2 1 21
F u v / u F , v F
F
En particulier, on a :
) dim(
) dim(
) dim(
)
dim( F
1+ F
2= F
1+ F
2- F
1Ç F
2Définition
Ø
Somme directe :
notéeLorsque est réduite au vecteur nul, la Somme est dite : somme directe
Ø
Supplémentaire de : tout sous espace de E tel que :
2
1
F
F Ç
2 1
F F +
2
1
F
F Å
F
1F
22
1
F
F
E = Å
B. Familles de vecteurs
Théorème 1
Soit E un espace vectoriel sur IR : dim E = n
Ø Une famille génératrice de E contient au moins n vecteurs
Ø Une famille libre contient au plus n vecteurs
Ø Une base de E contient n vecteurs
Théorème 2
Soit E un espace vectoriel sur IR : dim E = n
ØF est une famille contenant
n
vecteurs On a :F est une base F est génératrice F est libre
déterminant(F)
