PanaMaths Janvier 2016
Déterminer :
arcsinx
d
e x
∫
Analyse
Dans cet exercice, c’est l’argument de l’exponentiel qui… gêne ! Un changement de variable simple permet, dans un premier temps, de simplifier rapidement le calcul.
Résolution
Remarque : nous ne ferons apparaître la constante d’intégration qu’à la fin du calcul.
On cherche les primitives sur un intervalle I inclus dans
[
−1 ; 1]
, la fonction x6earcsinx étant définie et continue sur un tel intervalle.Effectuons le changement de variable (qui est de classe
C
1 de arcsin I( )
;2 2
⎡ π π⎤
⊂ −⎢⎣ ⎥⎦ dans l’intervalle I) :
( )
:u u x sinu
ϕ 6ϕ = =
On a alors ϕ'
( )
u =cosu, arcsin sin(
u)
=u et∫
earcsinxdx=∫
cosu e uud .Comme cosu=Re
( )
eiu , il vient :( ) ( ) (
( )1)
cosu e uud = Re eiu e uud =Re e e uiu ud =Re ei+ udu
∫ ∫ ∫ ∫
Or :
( ) ( )
( )
( ) ( )
1 1 1 1
d cos sin
1 2
1 1
cos sin cos sin
2 2
i u i u u
u u
e u e i u i u e
i
u u e i u u e
+ = + = − +
+
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢⎣ + ⎥⎦+ ⎢⎣ − + ⎥⎦
∫
D’où :
∫
cosu e uud =Re( ∫
e( )i+1udu)
=12(
cosu+sinu e)
u.PanaMaths Janvier 2016
C’est-à-dire en revenant à la variable x :
( ) ( 2 )
arcsin
1 1
cos d cos sin 1
2 2
u u x
u e u= u+ u e = −x +x e
∫
Finalement :
( )
arcsin 1 2 arcsin
d 1
2
x x
e x= −x +x e +k
∫
où k est une constante réelle quelconque.
Résultat final
( )
arcsin 1 2 arcsin
d 1
2
x x
e x= −x +x e +k
∫
où k est une constante réelle quelconque.
