PanaMaths Janvier 2012
Existence et calcul de :
0 2
arctan 1
I x dx
x
=
+∞∫ +
Analyse
La fonction sous le signe «
∫
» est à valeur positives et on peut facilement en donner un équivalent en +∞. La convergence est ainsi aisée à établir. Pour ce qui est du calcul, on remarquera que la fonction est de la forme u'×u …Résolution
Notons, dans un premier temps, que la fonction arctan2 1 x x
+x est à valeur positives sur +. Comme lim arctan
2
x x π
→+∞ = , on a immédiatement : arctan2 2
1 2
x
x x
π
+ +∞∼ . Or, pour tout réel a strictement positif, l’intégrale 2
2
a dx
x π
∫
+∞ est convergente (intégrale de Riemann).On en déduit que l’intégrale 2
0
arctan 1
xdx x
+∞
∫
+ est convergente.0 2
arctan 1
xdx x
+∞
∫
+ existeSoit maintenant A un réel positif.
La fonction 1 2 x 1
+x étant la fonction dérivée de la fonction arctan, on a immédiatement :
( )
2( )
20 2
0
arctan 1 1
arctan arctan
1 2 2
A x A
dx x A
x
⎡ ⎤
=⎢ ⎥ =
+ ⎣ ⎦
∫
Comme lim arctan 2
x x π
→+∞ = , on a par composition : lim 1
(
arctan)
2 1 2 22 2 2 8
A A π π
→+∞
⎧ ⎫= ⎛ ⎞ =
⎨ ⎬ ⎜ ⎟
⎩ ⎭ ⎝ ⎠ .
PanaMaths Janvier 2012
Finalement :
2 0 2
arctan
1 8
xdx x
π
+∞ =
∫
+Résultat final
L’intégrale 2
0
arctan 1
I xdx
x
= +∞
∫
+ existe et vaut2
8 π .
