UPMC 3M270 Algèbre 2017-2018

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TD 8

Exercice 1. Soit G un groupe d’ordre pq, où pet q sont deux nombres premiers vérifiantp < q et q non congru à 1 modulop. Montrer queGpossède un uniquep-Sylow et un uniqueq-Sylow. En déduire queGest cyclique. Que peut-on dire dans le cas oùqest congru à1modulop? Donner un exemple.

Exercice 2. 1) Montrer qu’un groupe d’ordre 63n’est jamais simple.Indication : utiliser les théorèmes de Sylow.

2) Montrer qu’un groupe d’ordre30n’est jamais simple. Indication : compter les éléments d’ordres2,3, et5.

3) Montrer qu’un groupe d’ordre36n’est jamais simple.Indication : le faire agir sur l’ensemble de ses3-Sylow.

Exercice 3. Soient pet qdeux nombres premiers, ainsi queαetβ deux entiers naturels non nuls.

1) On suppose que l’on ap > q. Montrer qu’un groupe d’ordrep^αq n’est jamais simple.

2) On suppose que l’on ap^α < q+ 1. Montrer qu’un groupe d’ordre p^αq^β n’est jamais simple.

3) On suppose que(q−1)! n’est pas divisible parp^α. Montrer qu’un groupe d’ordre p^αqn’est jamais simple.

Exercice 4. Soient p, q, et r trois nombres premiers vérifiantp < q < r. Soit Gun groupe d’ordrepqr. On note respectivement np, nq, etnrle nombre de p-Sylow, deq-Sylow, et der-Sylow deG.

1) Montrer que siGest simple, alors on an_p≥q, ainsi quen_q ≥ret n_r = pq.

2) En déduire queGn’est pas simple.

Exercice 5. Soient G un groupe d’ordre pair au moins égal à 4 et S un 2-Sylow de G. On suppose S cyclique.

Montrer que G n’est pas simple. Indication : considérer une action de G sur lui-même et utiliser le morphisme de signature.

Exercice 6. Soient pun nombre premier impair etGun groupe d’ordre2p.

1) Montrer queGcontient deux sous-groupesK=haid’ordrepet H =hbid’ordre2tels que l’on ait

G = HK = {hk, h∈H, k∈K} . 2) Montrer qu’il existe un entieri entre1 etp−1 tel que l’on ait

bab = aⁱ , puis que pdivisei²−1.

3) En déduire queGest soit cyclique, soit diédral (i.e.isomorphe àDp).

Exercice 7. SoitGun groupe simple.

1) Montrer que tout morphisme de groupes non trivial deGdans un autre groupe est injectif.

2) On suppose queGsoit fini, simple, et d’ordre168. SoitH un sous-groupe de Gd’indicem.

a) Construire un morphisme de groupes deGdansS_m. En déduire quemest au moins égal à7.

b) CombienGpossède-t-il d’éléments d’ordre7?

c) Montrer que le nombre de 3-Sylow de G est égal à 7 ou à 28. En déduire que G ne possède pas d’éléments d’ordre21.

3) On suppose queGsoit d’ordre280. Montrer queGne peut pas être simple.

Exercice 8. SoitGun groupe de cardinaln = p^αm, oùpest un nombre premier ne divisant pas m.

1) SoientP etQdeuxp-Sylow distincts deG. Montrer que l’on a

P∩Q = Q∩NG(P) , oùNG(P)est le normalisateur deP dansG.

2) On suppose à présent que l’ensembleX desp-Sylow deGsoit de cardinalp+ 1. Montrer queP agit surX par conjugaison. Déterminer l’orbite deP, vu comme élément deX, et son stabilisateur. Faire de même pourQ.

3) Montrer que l’intersection deP et de Qest de cardinalp^α−1.

Exercice 9. Soientpet qdeux nombres premiers distincts, ainsi quen etm deux entiers naturels, etGun groupe d’ordrepⁿq^m. On suppose queGpossède un uniquep-SylowHpet un uniqueq-SylowHq. Montrer queGest isomorphe à G/Hp×G/Hq.