G140 : Interruption de partie
Zig et Puce jouent à pile ou face. Si la pièce tombe sur pile, Zig marque un point et si elle tombe sur face, c'est Puce qui marque le point. Au début de la partie, chacun mise la même somme au pot et ils
conviennent que le premier des deux qui atteint le score S gagne la partie et récupère la totalité du pot de 102,40 €. Après 16 lancers de la pièce, le jeu est interrompu et ils décident de partager le pot. Comme ils ont quelques réminiscences du calcul des probabilités, ils se mettent d'accord pour que Zig qui a deux points de plus que Puce empoche 72,65€ tandis que Puce récupère le reste.
Retrouver leur mode de raisonnement avant de déterminer S.
Si nous indiquons en abscisse le nombre de points gagnés par Zig, et en ordonnée le nombre de ceux gagnés par Puce, le déroulement de la partie correspondra à une ligne suivant le quadrillage du plan. Au bout de 16 coups, puisque Zig a deux points de plus, on se trouve donc au point (9,7).
Partant d’un point (a,b), la probabilité d’atteindre en p+q coups le point (a+p, b+q) est Cp+qp/2p+q. Partant de (9,7), après 2n+1 tirages, on atteint l’un des points (9+k, 8+2n-k) pour k=0 à 2n+1, et, en vertu de la symétrie, la probabilité d’atteindre un des points 0≤k≤n est égale à celle d’atteindre un des points n+1≤k≤2n+1, donc égale à 1/2. Or, si n=S-9 les points gagnants pour Zig sont pour n≤k≤2n+1 ( la moitié des points plus k=n) : sa probabilité de gain est donc P(n)=1/2+Q(n)=1/2+C2n+1n/22n+1.
SI la part prise par Zig est proportionnelle à sa probabilité de gain, P(n)=72,65/102,40 donc Q(n)=429/2048. Or Q(1)=3/8, Q(2)=10/32=5/16, Q(3)=35/128,
Q(4)=126/512=63/256 Q(5)=462/2048=231/1024, Q(6)=1716/8192=429/2048.
Donc n=6 et S=15.
