pas de sommet en commun avec le polygone) Chaque triangle défini par les diagonales AE, BF et DG correspond à la sélection de 6 sommets du polygone parmi n points

G210 – Triangles dans un polygone Solution

Chaque triangle a soit zéro, un, deux ou trois sommets en commun avec le polygone qui le contient.

Le dénombrement s’effectue aisément pour chacun des cas :

1) Triangles inclus dans le polygone (i.e. pas de sommet en commun avec le polygone)

Chaque triangle défini par les diagonales AE, BF et DG correspond à la sélection de 6 sommets du polygone parmi n points. Le nombre de ces triangles est C(n,6) = n ! /[ 6 ! (n- 6) ! ]

2) Triangles ayant un sommet commun avec le polygone

Chaque triangle correspond au choix de 5 sommets du polygone parmi n avec l’un des sommets parmi les cinq choisi comme l’un des sommets du triangle. Le nombre de ces triangles est donc

5*C(n,5) = 5*n !/ [ 5 ! (n-5) ! ]

3) Triangles ayant deux sommets communs avec le polygone

Chaque triangle est déterminé par le choix de 4 sommets du polygone parmi n et deux de ces sommets sont adjacents et sont les sommets du triangle. Leur nombre est égal à 4*C(n,4) = 4*n !/ [ 4 ! (n-4) ! ]

4) Triangles ayant deux sommets communs avec le polygone

Chaque triangle est défini par la sélection de 3 sommets du polygone parmi N, soit un nombre de triangles égal à C(n,3) = n !/ [ 3 ! (n-3) ! ]

Au total le nombre de triangles formé par toutes les diagonales est égal à T(n) = C(n,6) + 5*C(n,5) + 4*C(n,4) + C(n,3) = n(n1)(n³18n²43n60)/720

Pour n=3, 4, 5, 6, 7 et 8, on obtient T(n) = 1, 8, 35, 111, 287 et 644. Cette séquence est cataloguée sus la rubrique A005732 de L’Encyclopédie des suites de nombres entiers de N. J. A. Sloane.