D279 - Les trois inconnues du polygone Solution proposée par Jacques Guitonneau
La solution repose essentiellement en l’examen du produit auquel on doit parvenir à savoir 1 881 792 qui se décompose de la façon suivant :
6*6*6*6*6*11*11*2 où on voit apparaître un 6 à la puissance 5 ce qui milite très fortement pour la solution d’un pentagone, avec une longueur de base R est multiple de 6, et ce d'autant plus que les autres solutions facilement calculables, triangle, carré, hexagone , octogone ne fonctionnernt pas.
Soit la distance D du point extérieur P au centre O égal à k*R , k entier comme l’indique l’énoncé.
On a les distances suivantes compte tenu des symétries et en dénommant les sommets dans le sens direct à partir du sommet S1 ayant servi à déterminer le point P:
PS1 : (k-1) *R
PS2 et PS5, égaux et symétriques par rapport à PS1, avec Angle (OS1,OS2) et (OS1,OS5)= + ou - 2*π⁄5
Et PS3 et PS4 égaux et symétriques par) rapport à PS1, avec Angle (OS1,OS2) et (OS1,OS5)= + ou - 4*π⁄5
On a cos(2*π⁄5 )= (sqrt(5) - 1)/4 et cos(4*π⁄5 )= -(sqrt(5) + 1)/4
Sachant que PS2 = PS5 on a PS2*PS5= R**2 (1+ k**2 -2k* cos(2*π⁄5 ))= R**2 (1+ k**2 + k/2 - k*Sqrt(5)/2)
Et comme PS3 = PS4 on a PS3*PS4= R**2 (1+ k**2 -2k* cos(4*π⁄5 ))= R**2 (1+ k**2 +k/2 + k*Sqrt(5)/2)
On obtient donc PS1*PS2*PS3*PS4*PS5= (k-1) * R**5 * ((1+k**2+k/2)**2 –5*(k**2)/4) En prenant k=3 on trouve, oh miracle, ((1+k**2+k/2)**2 –5*(k**2)/4) =121 soit 11*11 et avec k-1=2 on obtient le dernier coefficient du produit donné.
On a donc n=5 ; R=6 ; D=18 ; k=3.
