D373. Un polygone dans un cube
Avec les sommets du polygone sur les arˆetes du cube, on ne peut avoir que 1 ou 2 sommets par arˆete :
- 2 sommets par arˆete : le plan du polygone contient l’arˆete. La seule solution est que ce soit le plan d’une face du cube, et dans ce cas on peut inscrire au plus un octogone.
- 1 sommet par arˆete : le plan coupe au maximum 6 arˆetes, d´eterminant un hexagone. La condition n´ecessaire et suffisante pour qu’il soit r´egulier est que la longueur des cˆot´es sur les 6 faces coup´ees par le plan soit la mˆeme. La condition est remplie lorsque les sommets de l’hexagone sont au milieu des arˆetes. La longueur des cˆot´es estc6=a
√2
2 (aarˆete du cube).
Avec les sommets du polygone sur les faces du cube ( et sur les cˆot´es de l’hexagone) on peut inscrire un dod´ecagone dans l’hexagone et dans le cube.
Les 2 polygones ont un mˆeme cercle inscrit. On en d´eduit la longueur des cˆot´es du dod´ecagone :
c12=c6
√ 3 2 +√
3 =a
√ 6 2(2 +√
3) = .323a
1
