D302 - Le tétraèdre dans un cube
Solution
L’énoncé de ce problème peut surprendre car rien n’est dit sur la position du tétraèdre régulier au sein du cube. S’il y a plusieurs positions possibles, on s’attend à autant de valeurs
distinctes du volume des tétraèdres. La réalité est qu’il y a une seule position du tétraèdre régulier (pour une diagonale et une face du cube déterminées à l’avance) et par conséquent un seul volume possible.
On considère le cube ABCDEFGH (voir figure ci-après) de côté a et le tétraèdre régulier PQRS. On choisit les sommets P et Q sur la diagonale AH. Les deux autres sommets R et S se trouvent soit sur BF ou sur CG ou sur DH ou sur AE. Choisissons BF.
Dans un tétraèdre régulier on sait que le segment qui joint les milieux de deux arêtes opposées est perpendiculaire aux deux arêtes. Il est donc naturel de rechercher la perpendiculaire
commune à AH et BF car ce sera également la perpendiculaire commune à PQ et RS. Cette perpendiculaire est l’intersection du plan (P1) qui contient AH et est perpendiculaire à BF et du plan (P2) qui contient BF et est perpendiculaire à AH. Le plan (P1) est défini par les
droites AG et AH. AG et BF se coupent au point J qui est au centre de la face ABGF et qui est en même temps le milieu de BF et de AG. Le plan (P2) passe par J et contient la
perpendiculaire de J à AH. Soit I la projection de J sur AH.
Les triangles AIJ et AGH étant semblables, IJ = AJ . GH / AH avec AJ = a / 2 , GH = a et AH = a 3. D’où IJ = a / 6.
Le volume V d’un tétraèdre régulier x est donné par la formule V = x3 2 / 12. Si d désigne la longueur de la perpendiculaire commune à deux arêtes, on a d = x / 2 V = d3 / 3.
Comme d = MN = a / 6, le volume du tétraèdre régulier s’appuyant sur AH et BF est égal à a3 6/ 108.
On vérifie à cette occasion que la position du tétraèdre régulier est unique. A partir des points I et J précédemment définis, on trace les points P et Q de part et d’autre de I tels que PI = QI = IJ / 2 = a / 12 . On opère de la même manière avec les points R et S de part et d’autre de J.
Le tétraèdre régulier ainsi obtenu a des arêtes de longueur 2a / 12 = a / 3.
